北京大学 2021年强基第17题

答案： 24 解：分两步证明： （1）先证明对任意正整数 $n$ 有 $b_{n}\gt a_{n+1}$ ， 采用数学归纳法， 当 $n=1$ 时有 $b_{1}=5\gt 2^{2}=a_{2}$ 显然成立， 假设当 $n=k$ 时结论成立，即 $b_{k}\gt a_{k+1}$ ， 则当 $n=k+1$ 时，有 $b_{k+1}=5^{b_{k}}\gt 5^{a_{k+1}}\gt 2^{a_{k+1}}=a_{k+2}$ 所以对 $n=k+1$ 结论也成立， 所以对任意正整数 $n$ 有 $b_{n}\gt a_{n+1}$ ， （2）再证明对任意正整数 $n$ 有 $a_{n+2}\gt 3 b_{n}$ ， 当 $n=1$ 时，有 $a_{3}=16\gt 15=3 b_{1}$ ， 假设当 $n=k$ 时结论成立，即 $a_{k+2}\gt 3 b_{k}$ ， 则当 $n=k+1$ 时，$\displaystyle a_{k+3}=2^{a_{k-2}}\gt 2^{3 b_{k}}=8^{b_{k}}=\left(\frac{8}{5}\right)^{b_{k}} \times 5^{b_{k}} \geqslant\left(1+\frac{3}{5}\right)^{5}\gt 3 \times 5^{b_{k}}$ 所以对 $n=k+1$ 结论也成立， 所以对任意正整数 $n$ 有 $a_{n+2}\gt 3 b_{n}$ ， 此时我们由（1）可以得到 $b_{24}\gt a_{25}$ ， 由（2）可以得到 $a_{25}\gt 3 b_{23}\gt b_{23}$ ， 所以满足 $b_{m}\gt a_{25}$ 的 $m$ 的最小值为 24 。