北京大学 2021年强基第18题

答案： 85 解：显然 $x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{7}=0$ 是满足条件的一组解，且只要 $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{7}$ 中有 0 ，则剩余的必须全为 0， 下面只考虑 $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{7}$ 非零的情形，不妨设 $0\lt x_{1} \leqslant x_{2} \leqslant \ldots \leqslant x_{7}$ ， 则 $x_{1} x_{2} \ldots x_{7} \leqslant 7 x_{7} \Rightarrow x_{1} x_{2} \ldots x_{6} \leqslant 7$ ，量然此时必有 $x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=1$（否则 $x_{4} x_{5} x_{6} \geqslant 2^{3}=8\gt 7$ ，矛盾），于是命题等价于 $x_{5} x_{6} x_{7}=4+x_{5}+x_{6}+x_{7}$ ，且由 $x_{5} x_{6} \leqslant 7$ ，可得 $x_{5} \leqslant 2$ ， 情形 1：$x_{5}=1$ ， 则 $x_{6} x_{7}=5+x_{6}+x_{7} \Rightarrow\left(x_{6}-1\right)\left(x_{7}-1\right)=6$ ， 满足条件的解有 $\left(x_{6}, x_{7}\right)=(2,7),(3,4)$ ， 情形 2：$x_{5}=2$ ， 则 $x_{6}=2$ 或 3 ， $x_{6}=2$ 时， $4 x_{7}=8+x_{7}$（舍）； $x_{6}=3$ 时， $6 x_{7}=9+x_{7}$（舍）， 故此类情形无解， 综上 $\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{7}\right)=(0,0,0,0,0,0,0),(1,1,1,1,1,2,7)$ 或 $(1,1,1,1,1,3,4)$ ， 考虑到轮换性，故共有 $7 \times 6 \times 2+1=85$ 组解。