北京大学 2021年强基第19题
📝 题目
已知 $a, b, c \in \mathrm{R}^{+}$，且 $\displaystyle (a+b-c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)=3$ ，求 $\displaystyle \left(a^{4}+b^{4}+c^{4}\right)\left(\frac{1}{a^{4}}+\frac{1}{b^{4}}+\frac{1}{c^{4}}\right)$ 的最小值。
💡 答案解析
答案： $417+240 \sqrt{3}$ 解：原式整理可得 $$ \begin{aligned} & (a+b-c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)=3 \\ \Rightarrow & \left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2\right)-(a+b)\left(\frac{c}{a b}+\frac{1}{c}\right)+1=3 \\ \Rightarrow & (a+b)\left(\frac{c}{a b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \\ \Rightarrow & \frac{c}{a b}+\frac{1}{c}=\frac{a^{2}+b^{2}}{a b(a+b)} \geqslant \frac{2}{\sqrt{a b}} \end{aligned} $$ 由齐次性，不妨设 $a b=1$ ，则 $\displaystyle \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b} \geqslant 2$ ，即 $(a+b)^{2}-2 \geqslant 2(a+b)$ ，因此 $a+b \geqslant 1+\sqrt{3}$ ， 于是，$a^{4}+b^{4}=\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}-2 \geqslant\left((1+\sqrt{3})^{2}-2\right)^{2}-2=14+8 \sqrt{3}$ ， 故 $$ \begin{aligned} & \left(a^{4}+b^{4}+c^{4}\right)\left(\frac{1}{a^{4}}+\frac{1}{b^{4}}+\frac{1}{c^{4}}\right) \\
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：展开并化简给定条件
将条件式展开，得到 (a+b-c)(1/a+1/b-1/c)=3，化简后得到 (a+b)(c/(ab)+1/c) = a/b + b/a。
公式：(a+b-c)(1/a+1/b-1/c)=3
提示：注意展开时各项的合并，利用对称性简化。
步骤 2/5
目标：利用不等式放缩
由 a/b + b/a ≥ 2，且 c/(ab)+1/c ≥ 2/√(ab)，代入得 (a+b)(c/(ab)+1/c) ≥ (a+b)*2/√(ab)，结合等式得到 (a+b)*2/√(ab) ≤ a/b+b/a，进一步推导。
公式：a/b+b/a ≥ 2, c/(ab)+1/c ≥ 2/√(ab)
提示：注意等号成立条件。
步骤 3/5
目标：设 ab=1 简化问题
由齐次性，可设 ab=1，则条件化为 (a+b)(c+1/c) = a^2+b^2，且由不等式得 (a^2+b^2)/(a+b) ≥ 2，即 (a+b)^2-2 ≥ 2(a+b)，解得 a+b ≥ 1+√3。
公式：ab=1, (a^2+b^2)/(a+b) ≥ 2
提示：齐次性允许设 ab=1，简化计算。
步骤 4/5
目标：求目标表达式的最小值
目标为 (a^4+b^4+c^4)(1/a^4+1/b^4+1/c^4)。由 ab=1，a^4+b^4 = (a^2+b^2)^2-2，且 a^2+b^2 = (a+b)^2-2。设 t=a+b≥1+√3，则 a^4+b^4 = t^4-4t^2+2。又由条件得 c+1/c = (a^2+b^2)/(a+b) = t-2/t，故 c^4+1/c^4 = (c^2+1/c^2)^2-2，而 c^2+1/c^2 = (c+1/c)^2-2 = (t-2/t)^2-2。代入目标表达式，得到关于 t 的函数，求最小值。
公式：a^4+b^4 = (a^2+b^2)^2-2, c^4+1/c^4 = (c^2+1/c^2)^2-2
提示：利用对称性和换元法简化表达式。
步骤 5/5
目标：计算最小值
目标表达式化为 f(t) = (t^4-4t^2+2 + c^4+1/c^4) * (t^4-4t^2+2 + 1/c^4 + c^4?) 注意：实际上 (a^4+b^4+c^4)(1/a^4+1/b^4+1/c^4) = (a^4+b^4+c^4)(1/a^4+1/b^4+1/c^4)，由于 ab=1，1/a^4+1/b^4 = a^4+b^4，所以目标 = (a^4+b^4+c^4)(a^4+b^4+1/c^4)。令 u = a^4+b^4, v = c^4+1/c^4，则目标 = (u+v)(u+1/v?) 注意：1/c^4 不是 v，v = c^4+1/c^4，所以 1/c^4 是 v 的一部分。实际上，目标 = (u + c^4)(u + 1/c^4) = u^2 + u(c^4+1/c^4) + 1 = u^2 + u v + 1。而 u = t^4-4t^2+2, v = (t-2/t)^4? 更简单：由 c+1/c = t-2/t，则 c^2+1/c^2 = (t-2/t)^2-2，c^4+1/c^4 = (c^2+1/c^2)^2-2 = [(t-2/t)^2-2]^2-2。代入后 f(t) = u^2 + u v + 1，其中 u = t^4-4t^2+2, v = [(t-2/t)^2-2]^2-2。求导或利用不等式得最小值在 t=1+√3 时取得，代入计算得 417+240√3。
公式：目标 = u^2 + u v + 1
提示：注意利用 ab=1 简化 1/a^4+1/b^4 = a^4+b^4。
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