北京大学 2020年强基第1题
📝 题目
正实数 $x, y, z, w$ 满足 $x \geq y \geq w$ ，且 $x+y \leq 2(w+z)$ ，则 $\displaystyle \frac{w}{x}+\frac{z}{y}$ 的最小值等于 。 A．$\displaystyle \frac{3}{4}$ B．$\displaystyle \frac{7}{8}$ C． 1 D．前三个答案都不对
💡 答案解析
D 解析：因为 $x+y \leq 2(w+z)$ ，则 $\displaystyle z \geq \frac{x+y-2 w}{2}$ 则 $\displaystyle \frac{w}{x}+\frac{z}{y} \geq \frac{w}{x}+\frac{x+y-2 w}{2 y}=\frac{w}{x}+\frac{x}{2 y}-\frac{w}{y}+\frac{1}{2}=\frac{x}{2 y}+\frac{1}{2}+w \frac{y-x}{x y}$ $\displaystyle \geq \frac{x}{2 y}+\frac{1}{2}+\frac{y-x}{x y} \cdot y=\frac{x}{2 y}+\frac{1}{2}+\frac{y-x}{x}=\frac{x}{2 y}+\frac{x}{y}-\frac{1}{2} \geq \sqrt{2}-\frac{1}{2}$ 当且仅当 $x=\sqrt{2} y, \quad y=w, \quad x+y=2(w+z)$ 时，等号成立，故选 D。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用不等式条件消去z
由x+y≤2(w+z)得z≥(x+y-2w)/2，代入目标式得w/x+z/y≥w/x+(x+y-2w)/(2y)。
公式：z≥(x+y-2w)/2
提示：注意不等式方向，代入后得到下界。
步骤 2/7
目标：化简表达式
将不等式右边展开：w/x + x/(2y) + 1/2 - w/y = x/(2y) + 1/2 + w(1/x - 1/y)。
公式：w/x + (x+y-2w)/(2y) = x/(2y) + 1/2 + w(1/x - 1/y)
提示：合并同类项，注意w的系数。
步骤 3/7
目标：利用x≥y≥w放缩
由x≥y得1/x≤1/y，故w(1/x-1/y)≤0。但我们需要下界，所以用w≥y？不，这里用w≤y，所以w(1/x-1/y)≥y(1/x-1/y)=y/x-1。
公式：w(1/x-1/y) ≥ y(1/x-1/y) = y/x - 1
提示：注意w≤y，且1/x-1/y≤0，乘积≥y(1/x-1/y)。
步骤 4/7
目标：代入放缩结果
代入得原式≥x/(2y)+1/2+y/x-1 = x/(2y)+y/x-1/2。
公式：x/(2y)+1/2+(y/x-1) = x/(2y)+y/x-1/2
提示：常数项合并。
步骤 5/7
目标：应用均值不等式求最小值
由均值不等式，x/(2y)+y/x≥2√(x/(2y)*y/x)=2√(1/2)=√2，所以原式≥√2-1/2。
公式：x/(2y)+y/x ≥ 2√(1/2)=√2
提示：等号当x/(2y)=y/x即x=√2y时成立。
步骤 6/7
目标：验证等号成立条件
等号需同时满足：x=√2y，y=w，x+y=2(w+z)。解得z=(x+y-2w)/2=(√2y+y-2y)/2=(√2-1)y/2，所有正数，可行。
公式：x=√2y, y=w, z=(√2-1)y/2
提示：检查是否满足x≥y≥w，这里x=√2y>y=w，成立。
步骤 7/7
目标：得出最小值
最小值为√2-1/2≈1.414-0.5=0.914，而选项A=0.75，B=0.875，C=1，均大于0.914？实际上0.914<1，但大于0.875？0.914>0.875，所以不在选项中，故选D。
公式：最小值=√2-1/2
提示：比较数值，√2≈1.414，减0.5得0.914，介于0.875和1之间。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。