北京大学 2020年强基第2题
📝 题目
在 $(2019 \times 2020)^{2021}$ 的全体正因数中选出若干个，使得其中任意两个的乘积都不是平方数，则最多可选因数个数为 。 A． 16 B． 31 C． 32 D．前三个答案都不对
💡 答案解析
C 解析：素数唯一分解理论 因为 $(2019 \times 2020)^{2021}=2^{4042} \times 5^{2021} \times 101^{2021} \times 3^{2021} \times 673^{2021}$ 可以选取最小质数 $2,3,5,101,673$ ，那么剩下的单个质因数的偶数次方出现的最多只能选取一个，不妨选 $2^{2}$ ，再进行组合，再 5 个因数里面分别选取 2 个， 3 个， 4 个， 5 个，则一共有 32 个，则最多可以选取 32 个，故选 C。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分解质因数
将(2019×2020)^2021分解质因数。2019=3×673，2020=2^2×5×101，所以原式=2^(2×2021)×3^2021×5^2021×101^2021×673^2021=2^4042×3^2021×5^2021×101^2021×673^2021。
公式：2019=3×673, 2020=2^2×5×101
提示：注意指数运算：乘方的指数要乘到每个因子的指数上。
步骤 2/5
目标：理解题意与平方数条件
要求选出的因数中任意两个的乘积不是平方数。两个数乘积为平方数当且仅当它们每个质因数的指数之和为偶数。因此，选出的因数中，每个质因数的指数奇偶性必须互不相同。
公式：乘积为平方数⇔各质因数指数之和为偶数
提示：将每个因数对应一个奇偶向量，向量分量表示各质因数指数的奇偶性。
步骤 3/5
目标：确定奇偶向量的可能取值
质因数有5个：2,3,5,101,673。每个因数的指数奇偶性由0或1表示，共有2^5=32种可能的奇偶向量。由于任意两个向量的和不能为全0（即不能相同），所以最多只能选32个因数，每个向量对应一个。
公式：奇偶向量个数=2^5=32
提示：每个向量代表一种奇偶模式，不同模式乘积不会是平方数。
步骤 4/5
目标：构造选取方案
选取每个奇偶向量对应的一个因数。例如，取所有质因数的指数为0或1的因数，即每个质因数要么取一次方，要么不取。这样共有32个因数，且任意两个乘积的指数和奇偶性不同，故不是平方数。
公式：因数形式：2^a×3^b×5^c×101^d×673^e，a,b,c,d,e∈{0,1}
提示：注意指数不能超过原数中的最大指数，但这里0和1都可行。
步骤 5/5
目标：验证最大性
由于有5个质因数，奇偶向量只有32种，若选33个因数，则必有两个向量相同，其乘积的指数和为偶数，即为平方数。因此最多32个。
公式：鸽巢原理：33>32
提示：这是组合数学中的经典结论。
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