北京大学 2020年强基第3题
📝 题目
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足：$a_{1}=1, a_{2}=4$ ，且对任意的 $n \geq 2$ 有 $a_{n}^{2}-a_{n-1} a_{n+1}=2^{n-1}$ ，则 $a_{2020}$ 的个位数字是 。 A． 8 B． 4 C． 2 D．前三个答案都不对
💡 答案解析
A 解析：因为 $a_{n}^{2}-a_{n-1} a_{n+1}=2^{n-1}$ ，则 $a_{n+1}^{2}-a_{n} a_{n+2}=2^{n}$ 因此 $2 a_{n}^{2}-2 a_{n-1} a_{n+1}=a_{n+1}^{2}-2 a_{n} a_{n+2}$ ，则 $\displaystyle \frac{2 a_{n}+a_{n+2}}{a_{n+1}}=\frac{2 a_{n-1}+a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{2 a_{1}+a_{3}}{a_{2}}$ 因为 $a_{2}^{2}=a_{1} a_{3}+2$ ，则 $a_{3}=14$ ，故 $\displaystyle \frac{2 a_{n}+a_{n+2}}{a_{n+1}}=\frac{2 a_{n-1}+a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{2 a_{1}+a_{3}}{a_{2}}=4$ 即 $a_{n+1}=4 a_{n}-2 a_{n-1}$ ，欲求个位数字，只需让 $a_{n}$ 模 10， 其结果为 $1,4,4,8,4,0,2,8,8,6,8,0,4,6,6,2,6,0,8,2,2,4,2,0,6,4,4,8,4,0 \cdots$ 从 $a_{2}$ 开始周期为 24 ，则 $a_{2020}$ 的个位数字是 8 ，故选 A。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：推导递推关系
由已知条件，对n和n+1分别写出等式，然后消去交叉项，得到关于a_n的线性递推关系。
公式：a_{n+2} = 4a_{n+1} - 2a_n
提示：注意利用等式相减或变形，得到常数比值。
步骤 2/5
目标：计算初始项a3
利用n=2时的条件：a2^2 - a1*a3 = 2^(2-1)=2，代入a1=1, a2=4，解得a3=14。
公式：a_3 = 14
提示：直接代入计算即可。
步骤 3/5
目标：确定递推关系中的常数
通过比值恒等，得到(2a_n + a_{n+2})/a_{n+1} = (2a_1 + a_3)/a_2 = 4，从而推出a_{n+2}=4a_{n+1}-2a_n。
公式：a_{n+2} = 4a_{n+1} - 2a_n
提示：注意验证n=1时成立。
步骤 4/5
目标：求模10下的周期
从a1=1, a2=4开始，利用递推计算模10的序列，直到出现循环。序列：1,4,4,8,4,0,2,8,8,6,8,0,4,6,6,2,6,0,8,2,2,4,2,0,6,4,4,8,4,0,... 周期为24（从a2开始）。
公式：a_n mod 10 周期24
提示：计算时只保留个位数字。
步骤 5/5
目标：计算a2020的个位
2020对应周期中的位置：从a2开始，周期24，a2对应第1项，a2020对应第2019项（因为a2是第2项）。2019 mod 24 = 3，周期中第3项是8（序列：a2=4, a3=4, a4=8,...），所以个位是8。
公式：a_{2020} mod 10 = 8
提示：注意索引对应关系。
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