北京大学 2020年强基第4题
📝 题目
设 $a, b, c, d$ 是方程 $x^{4}+2 x^{3}+3 x^{2}+4 x+5=0$ 的 4 个复根，则 $\displaystyle \frac{a-1}{a+2}+\frac{b-1}{b+2}+\frac{c-1}{c+2}+\frac{d-1}{d+2}$ 的值为 。 A．$\displaystyle -\frac{4}{3}$ B．$\displaystyle -\frac{2}{3}$ C．$\displaystyle \frac{2}{3}$ D．前三个答案都不对
💡 答案解析
$A$ 解析：由题意可得 $s=a+b+c+d=-2, \quad p=a b+a c+a d+b c+b d+c d=3$ $q=a b c+a b d+a c d+b c d=-4, \quad r=a b c d=5$ ，设 $\displaystyle m=\frac{a-1}{a+2}+\frac{b-1}{b+2}+\frac{c-1}{c+2}+\frac{d-1}{d+2}$ 则 $\displaystyle m=4-3\left(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}+\frac{1}{d+2}\right)$ ，只需求 $\displaystyle \frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}+\frac{1}{d+2}$ 则 $\displaystyle \frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}+\frac{1}{d+2}=\frac{\sum(b+2)(c+2)(d+2)}{(a+2)(b+2)(c+2)(d+2)}=\frac{q+32+12 s+4 p}{r+16+2 q+4 p+8 s}=\frac{16}{9}$ 故 $\displaystyle m=4-\frac{16}{3}=-\frac{4}{3}$ ，由此可得选 A。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：根据韦达定理，写出根与系数的关系
设四个根为a,b,c,d，由韦达定理：a+b+c+d=-2，ab+ac+ad+bc+bd+cd=3，abc+abd+acd+bcd=-4，abcd=5。
公式：x^4+2x^3+3x^2+4x+5=0 ⇒ s=-2, p=3, q=-4, r=5
提示：注意符号：奇次项系数为负。
步骤 2/6
目标：将目标表达式化简为关于1/(a+2)的和的形式
将每个分式变形： (a-1)/(a+2) = 1 - 3/(a+2)，所以原式 = 4 - 3∑1/(a+2)。
公式：(a-1)/(a+2) = 1 - 3/(a+2)
提示：分子分母同次时，可分离常数。
步骤 3/6
目标：将∑1/(a+2)表示为对称多项式之比
∑1/(a+2) = [∑(b+2)(c+2)(d+2)] / [(a+2)(b+2)(c+2)(d+2)]，分子是三个因子乘积的和，分母是四个因子乘积。
公式：∑1/(a+2) = ∑(b+2)(c+2)(d+2) / ∏(a+2)
提示：通分后分子是轮换和。
步骤 4/6
目标：计算分子∑(b+2)(c+2)(d+2)的值
展开分子：∑(bcd + 2bc + 2bd + 2cd + 4b + 4c + 4d + 8) = q + 2p + 2p + 2p + 4s + 4s + 4s + 8*4 = q + 6p + 12s + 32 = -4 + 18 - 24 + 32 = 22。
公式：∑(b+2)(c+2)(d+2) = q + 6p + 12s + 32
提示：注意每个项出现的次数。
步骤 5/6
目标：计算分母∏(a+2)的值
展开分母：∏(a+2) = r + 2q + 4p + 8s + 16 = 5 - 8 + 12 - 16 + 16 = 9。
公式：∏(a+2) = r + 2q + 4p + 8s + 16
提示：利用多项式展开。
步骤 6/6
目标：代入计算原式的值
∑1/(a+2) = 22/9，所以原式 = 4 - 3*(22/9) = 4 - 22/3 = (12-22)/3 = -10/3。
公式：m = 4 - 3*(22/9) = -10/3
提示：注意计算准确性。
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