北京大学 2020年强基第5题
📝 题目
设等边三角形 $A B C$ 的边长为 1 ，过点 $C$ 作以 $A B$ 为直径的圆的切线交 $A B$ 的延长线于点 $D$ ， $A D\gt B D$ ，则三角形 $B C D$ 的面积为 。 A．$\displaystyle \frac{6 \sqrt{2}-3 \sqrt{3}}{16}$ B．$\displaystyle \frac{4 \sqrt{2}-3 \sqrt{3}}{16}$ C．$\displaystyle \frac{3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}}{16}$ D．前三个答案都不对
💡 答案解析
C 解析：如图所示，其中 $\displaystyle O E=O B=\frac{1}{2}$ $\displaystyle C O=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $\displaystyle C E=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 从而可得 $\displaystyle \frac{O D}{O C}=\frac{O E}{C E}$ ，故 $\displaystyle O D=\frac{\sqrt{6}}{4}$ 则 $\displaystyle S_{\triangle B C D}=\frac{3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}}{16}$ ，故选 C。 
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：建立坐标系或几何关系
设AB中点为O，连接OC、OE。等边三角形边长为1，则OE=OB=1/2，CO=√3/2。
公式：OE=OB=1/2, CO=√3/2
提示：利用等边三角形性质
步骤 2/5
目标：计算CE长度
在直角三角形COE中，由勾股定理得CE=√(CO²+OE²)=√((√3/2)²+(1/2)²)=√(3/4+1/4)=√1=1？注意：实际应为CE=√(CO²-OE²)=√(3/4-1/4)=√(1/2)=√2/2。
公式：CE=√(CO²-OE²)=√2/2
提示：注意是减法，因为OE垂直于CE？实际上OC⊥AB，OE⊥CE？需根据图形判断。
步骤 3/5
目标：利用相似三角形求OD
由CD为切线，得∠OCD=90°，又OE⊥CE，故△OCD∽△OEC，所以OD/OC=OC/CE？正确比例：OD/OC=OE/CE，代入得OD/(√3/2)=(1/2)/(√2/2)，解得OD=√6/4。
公式：OD/OC=OE/CE ⇒ OD=√6/4
提示：注意相似三角形对应边
步骤 4/5
目标：计算BD长度
BD=OD-OB=√6/4 - 1/2 = (√6-2)/4。
公式：BD=OD-OB
提示：注意AD>BD，D在AB延长线上
步骤 5/5
目标：计算三角形BCD的面积
S△BCD = (1/2)×BD×高，高为C到AB的距离，即等边三角形的高=√3/2。所以S=1/2 × (√6-2)/4 × √3/2 = (√18-2√3)/16 = (3√2-2√3)/16。
公式：S=1/2×BD×h
提示：高为等边三角形的高
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