北京大学 2020年强基第6题
📝 题目
设 $x, y, z$ 均不为 $\displaystyle \left(k+\frac{1}{2}\right) \pi$ ，其中 $k$ 为整数，已知 $\sin (y+z-x), \sin (x+z-y), \sin (x+y-z)$ 成等差数列，则依然成等差数列的是 。 A． $\sin x, \sin y, \sin z$ B． $\cos x, \cos y, \cos z$ C． $\tan x, \tan y, \tan z$ D．前三个答案都不对
💡 答案解析
C 解析：因为 $2 \sin (x+z-y)=\sin (y+z-x)+\sin (x+y-z)=2 \sin y \cos (x-z)$ 则 $\sin (x+z) \cos y-\cos (x+z) \sin y=\sin y \cos (x-z)$ 则 $\sin (x+z) \cos y=\sin y[\cos (x+z)+\cos (x-z)]=2 \sin y \cos x \cos z$ 则 $\tan x+\tan z=2 \tan y$ ，故选 C。 7，B 解析：因式分解与整除 因为 $19 x+93 y=4 x y$ ，则 $(4 x-93)(4 y-19)=93 \times 19=3 \times 19 \times 31$ 则 $\left\{\begin{array}{l}4 y-19=1 \\ 4 x-93=93 \times 19\end{array}\right.$ ，此时 $\left\{\begin{array}{l}y=5 \\ x=455\end{array}\right.$ ；则 $\left\{\begin{array}{l}4 y-19=-1 \\ 4 x-93=-93 \times 19\end{array}\right.$ ，此时无解． 则 $\left\{\begin{array}{l}4 y-19=3 \\ 4 x-93=31 \times 19\end{array}\right.$ ，此时无解；则 $\left\{\begin{array}{l}4 y-19=-3 \\ 4 x-93=-31 \times 19\end{array}\right.$ ，此时 $\left\{\begin{array}{l}y=4 \\ x=-124\end{array}\right.$ 则 $\left\{\begin{array}{l}4 y-19=19 \\ 4 x-93=93\end{array}\right.$ ，此时无解；则 $\left\{\begin{array}{l}4 y-19=-19 \\ 4 x-93=-93\end{array}\right.$ ，此时 $\left\{\begin{array}{l}y=0 \\ x=0\end{array}\right.$ ． 则 $\left\{\begin{array}{l}4 y-19=31 \\ 4 x-93=57\end{array}\right.$ ，此时无解；则 $\left\{\begin{array}{l}4 y-19=-31 \\ 4 x-93=-57\end{array}\right.$ ，此时 $\left\{\begin{array}{l}y=-3 \\ x=9\end{array}\right.$ ． 则 $\left\{\begin{array}{l}4 y-19=57 \\ 4 x-93=31\end{array}\right.$ ，此时 $\left\{\begin{array}{l}y=19 \\ x=31\end{array}\right.$ ；则 $\left\{\begin{array}{l}4 y-19=-57 \\ 4 x-93=-31\end{array}\right.$ ，此时无解． 则 $\left\{\begin{array}{l}4 y-19=93 \\ 4 x-93=19\end{array}\right.$ ，此时 $\left\{\begin{array}{l}y=28 \\ x=28\end{array}\right.$ ；则 $\left\{\begin{array}{l}4 y-19=-93 \\ 4 x-93=-19\end{array}\right.$ ，此时无解 则 $\left\{\begin{array}{l}4 y-19=31 \times 19 \\ 4 x-93=3\end{array}\right.$ ，此时 $\left\{\begin{array}{l}y=152 \\ x=24\end{array}\right.$ ；则 $\left\{\begin{array}{l}4 y-19=-31 \times 19 \\ 4 x-93=-3\end{array}\right.$ ，此时无解 则 $\left\{\begin{array}{l}4 y-19=19 \times 93 \\ 4 x-93=1\end{array}\right.$ ，此时无解；$\left\{\begin{array}{l}4 y-19=-19 \times 93 \\ 4 x-93=-1\end{array}\right.$ ，此时 $\left\{\begin{array}{l}y=-437 \\ x=23\end{array}\right.$ ， 解析二：同余 因为 $19 x+93 y=4 x y$ ，则 $(4 x-93)(4 y-19)=93 \times 19=3 \times 19 \times 31$ 因为 $4 x-93 \equiv 3(\bmod 4), 4 y-19 \equiv 1(\bmod 4)$ 则 $\left\{\begin{array}{l}4 x-93=3,19,31,1767,-1,-57,-93,-589 \\ 4 y-19=\cdots\end{array}\right.$ ，故共 8 组，选 B。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：根据等差数列条件列出等式
由sin(y+z-x), sin(x+z-y), sin(x+y-z)成等差数列，得2sin(x+z-y)=sin(y+z-x)+sin(x+y-z)。
公式：2sin(x+z-y)=sin(y+z-x)+sin(x+y-z)
提示：等差数列中项等于前后项和的一半。
步骤 2/6
目标：利用和差化积化简等式右边
sin(y+z-x)+sin(x+y-z)=2sin y cos(x-z)，代入得2sin(x+z-y)=2sin y cos(x-z)。
公式：sin A+sin B=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)
提示：注意A+B=2y，A-B=2(x-z)。
步骤 3/6
目标：化简等式并展开左边
两边除以2得sin(x+z-y)=sin y cos(x-z)。左边用差角公式展开：sin(x+z)cos y - cos(x+z)sin y = sin y cos(x-z)。
公式：sin(α-β)=sinα cosβ - cosα sinβ
提示：将x+z-y看作(x+z)-y。
步骤 4/6
目标：移项并利用积化和差
移项得sin(x+z)cos y = sin y[cos(x+z)+cos(x-z)]。右边用和差化积：cos(x+z)+cos(x-z)=2cos x cos z。
公式：cos A+cos B=2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)
提示：这里A=x+z，B=x-z，和的一半为x，差的一半为z。
步骤 5/6
目标：化简得到tan关系
代入得sin(x+z)cos y = 2 sin y cos x cos z。两边除以cos x cos y cos z（不为0），得tan x + tan z = 2 tan y。
公式：tan x + tan z = 2 tan y
提示：sin(x+z)=sin x cos z+cos x sin z，除以cos x cos z得tan x+tan z。
步骤 6/6
目标：判断成等差数列的选项
由tan x, tan y, tan z满足2tan y = tan x + tan z，故tan x, tan y, tan z成等差数列，选C。
公式：2tan y = tan x + tan z
提示：等差数列中项等于前后项和的一半。
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