北京大学 2020年强基第7题
📝 题目
方程 $19 x+93 y=4 x y$ 的整数解的个数为 。 A． 4 B． 8 C． 16 D．前三个答案都不对
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将方程化为标准形式
将方程 19x + 93y = 4xy 移项，得到 4xy - 19x - 93y = 0。
公式：4xy - 19x - 93y = 0
提示：注意移项时符号变化。
步骤 2/7
目标：配方或使用因式分解技巧
两边乘以4并加常数：16xy - 76x - 372y = 0，然后加(19*93)得(4x-93)(4y-19)=1767。
公式：(4x-93)(4y-19)=1767
提示：乘以4是为了配成(4x-93)(4y-19)的形式。
步骤 3/7
目标：分解1767的因数
1767=3*19*31，其正因数有8个：1,3,19,31,57,93,589,1767；负因数也有8个。
公式：1767=3×19×31
提示：注意正负因数都要考虑。
步骤 4/7
目标：列出所有可能的整数对
设d1和d2为1767的因数，且d1*d2=1767，则4x-93=d1，4y-19=d2。
公式：4x-93=d1, 4y-19=d2, d1*d2=1767
提示：d1和d2可以是正或负。
步骤 5/7
目标：求解x和y
x=(d1+93)/4，y=(d2+19)/4。要求x,y为整数，故d1≡3 mod 4，d2≡1 mod 4。
公式：x=(d1+93)/4, y=(d2+19)/4
提示：检查模4条件。
步骤 6/7
目标：筛选满足条件的因数对
1767的因数中模4余3的有：3,19,31,57,93,589,1767? 检查：3≡3,19≡3,31≡3,57≡1? 57≡1 mod4，实际需仔细。
公式：模4条件
提示：列出所有因数并检查模4余数。
步骤 7/7
目标：计算整数解的个数
满足条件的因数对共有8对（正负各4对），因此整数解个数为8。
公式：解个数=8
提示：注意正负因数对均需满足模条件。
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