北京大学 2020年强基第8题
📝 题目
从圆 $x^{2}+y^{2}=4$ 上的点向椭圆 $\displaystyle C: \frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ 引切线，两切点间的线段成为切点弦，则椭圆 $C$ 内不与任何切点弦相交的区域面积为 。 A．$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ B．$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ C．$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ D．前三个答案都不对
💡 答案解析
A 解析：切线系方程 如图所示，设点 $A(2 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ 
则 $B C$ 直线方程为 $\cos \theta \cdot x+2 \sin \theta \cdot y=1$ 由于 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 在点 $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ 的切线方程为 $\displaystyle \frac{\cos \theta \cdot x}{a}+\frac{\sin \theta \cdot y=1}{b}$ 则 $\displaystyle a=1, b=\frac{1}{2}$ ，因此 $\cos \theta \cdot x+2 \sin \theta \cdot y=1$ 为椭圆 $x^{2}+4 y^{2}=1$ 的切线系方程由椭圆的面积可得 $\displaystyle \pi a b=\frac{\pi}{2}$ ，故选 A 。
则 $B C$ 直线方程为 $\cos \theta \cdot x+2 \sin \theta \cdot y=1$ 由于 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 在点 $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ 的切线方程为 $\displaystyle \frac{\cos \theta \cdot x}{a}+\frac{\sin \theta \cdot y=1}{b}$ 则 $\displaystyle a=1, b=\frac{1}{2}$ ，因此 $\cos \theta \cdot x+2 \sin \theta \cdot y=1$ 为椭圆 $x^{2}+4 y^{2}=1$ 的切线系方程由椭圆的面积可得 $\displaystyle \pi a b=\frac{\pi}{2}$ ，故选 A 。📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设圆上点A坐标
设圆x^2+y^2=4上一点A(2cosθ, 2sinθ)，该点向椭圆引切线，切点弦为BC。
公式：A(2cosθ, 2sinθ)
提示：参数θ表示点A的位置。
步骤 2/5
目标：写出切点弦方程
由椭圆切线公式，椭圆x^2/2+y^2=1在点(√2cosφ, sinφ)的切线为(cosφ)x/√2+(sinφ)y=1。但此处切点弦对应圆上点A，其极线方程即切点弦方程：cosθ·x+2sinθ·y=1。
公式：cosθ·x+2sinθ·y=1
提示：利用圆上点A的极线性质。
步骤 3/5
目标：识别切线系对应的椭圆
方程cosθ·x+2sinθ·y=1可视为椭圆x^2/1^2+y^2/(1/2)^2=1的切线系，其中a=1, b=1/2，即椭圆x^2+4y^2=1。
公式：x^2+4y^2=1
提示：对比标准切线方程形式。
步骤 4/5
目标：计算椭圆面积
椭圆x^2+4y^2=1的面积为πab=π×1×(1/2)=π/2。该区域即为椭圆C内不与任何切点弦相交的区域。
公式：S=πab=π/2
提示：面积公式S=πab。
步骤 5/5
目标：选择答案
计算得面积为π/2，对应选项A。
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