北京大学 2020年强基第9题
📝 题目
使得 $5 x+12 \sqrt{x y} \leq a(x+y)$ 对所有正实数 $x, y$ 都成立的实数 $a$ 的最小值为 ， A． 8 B． 9 C． 10 D．前三个答案都不对
💡 答案解析
B 解析：待定系数 $\displaystyle 5 x+12 \sqrt{x y}=5 x+12 \sqrt{m x \cdot \frac{y}{m}} \leq(5+6 m) x+\frac{6}{m} y$ ，令 $\displaystyle 5+6 m=\frac{6}{m}, m=\frac{2}{3}$ 则 $5 x+12 \sqrt{x y} \leq 9(x+y)$ ，则 $\displaystyle \frac{5 x+12 \sqrt{x y}}{x+y} \leq 9$ ，则 $a \geq 9$ ，故选 B。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入参数m，将根号项拆分为两项之和
设m>0，则12√(xy)=12√(mx·y/m)≤6mx+6y/m，由均值不等式。
公式：12√(xy) ≤ 6mx + 6y/m
提示：注意m的引入是为了后续系数匹配。
步骤 2/5
目标：得到不等式5x+12√(xy) ≤ (5+6m)x + (6/m)y
将上一步结果代入原式左边，得5x+12√(xy) ≤ 5x+6mx+6y/m = (5+6m)x + (6/m)y。
公式：5x+12√(xy) ≤ (5+6m)x + (6/m)y
提示：合并x的系数。
步骤 3/5
目标：令x和y的系数相等，求解m
为使右边为a(x+y)形式，令5+6m = 6/m，解得m=2/3（负值舍去）。
公式：5+6m = 6/m ⇒ m=2/3
提示：系数相等可得到最紧的上界。
步骤 4/5
目标：代入m得到具体不等式
将m=2/3代入，得5x+12√(xy) ≤ 9x+9y = 9(x+y)。
公式：5x+12√(xy) ≤ 9(x+y)
提示：此时右边系数为9。
步骤 5/5
目标：确定a的最小值
由不等式恒成立，需a≥9；且当x:y=4:9时取等，故a最小值为9。
公式：a_min = 9
提示：取等条件由均值不等式等号成立得到。
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