北京大学 2020年强基第10题
📝 题目
设 $P$ 为单位立方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 上的一点，则 $P A_{1}+P C_{1}$ 的最小值为 。 A．$\sqrt{2+\sqrt{2}}$ B．$\sqrt{2+2 \sqrt{2}}$ C． $\displaystyle 2-\frac{\sqrt{2}}{2}$ D．前三个答案都不对
💡 答案解析
D 解析：最小值为 $\sqrt{2}$ ，故选 D。
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：将空间问题转化为平面问题
将立方体展开，使A1和C1在同一平面内，且P在展开后的边界上。考虑将面ABB1A1和面BCC1B1展开到同一平面，或利用对称性。
提示：展开时保持P在棱上移动，最小化距离和。
步骤 2/8
目标：确定P的位置
设P在棱BB1上，坐标为(1,0,t)，0≤t≤1。则PA1=√[(1-1)^2+(0-0)^2+(t-1)^2]=|t-1|，PC1=√[(1-1)^2+(0-1)^2+(t-1)^2]=√[1+(t-1)^2]。
公式：距离公式
提示：P也可在其他棱上，但对称性表明最小值在棱上取得。
步骤 3/8
目标：求函数最小值
令f(t)=|t-1|+√[1+(t-1)^2]，设u=1-t∈[0,1]，则f(u)=u+√(1+u^2)。求导得f'(u)=1+u/√(1+u^2)>0，故f(u)在[0,1]递增，最小值在u=0即t=1时取得，f(0)=0+1=1。
公式：导数或单调性
提示：注意u≥0，导数恒正。
步骤 4/8
目标：验证其他位置
若P在棱AB上，设P=(x,0,0)，则PA1=√[(x-1)^2+0^2+1^2]=√[(x-1)^2+1]，PC1=√[(x-1)^2+1^2+1^2]=√[(x-1)^2+2]，和的最小值大于1。类似地，其他棱上最小值也大于1。
提示：对称性表明最小值在顶点B1处取得。
步骤 5/8
目标：得出最小值
当P与B1重合时，PA1=1，PC1=1，和为2？不对，实际上P在B1时，PA1=1，PC1=√2，和为1+√2≈2.414。但之前计算P在B时，PA1=1，PC1=√2，和为1+√2。但题目要求PA1+PC1最小值，实际计算得最小值为√2？
提示：重新检查：P在B1时，PA1=0？不，B1到A1距离为1，到C1距离为√2，和为1+√2。但解析说最小值为√2，可能P在体心？
步骤 6/8
目标：重新分析：P在体心时
设P为立方体中心(0.5,0.5,0.5)，则PA1=√[(0.5)^2+(0.5)^2+(0.5)^2]=√0.75=√3/2≈0.866，PC1同样，和为√3≈1.732，大于√2。
提示：√2≈1.414，更小。
步骤 7/8
目标：正确解法：利用对称性将PA1+PC1转化为两点间距离
将立方体展开，使A1和C1位于展开图的两侧，连接线段即为最小值。例如，将面A1B1C1D1和面ABCD展开，使A1和C1在一条直线上，距离为√2。
公式：两点间距离公式
提示：展开方式：将上底面和下底面展开到同一平面。
步骤 8/8
目标：计算最小值
取展开图中A1和C1的坐标：A1(0,0,1)和C1(1,1,1)在三维中，但展开后，例如将面A1B1C1D1和面ABCD并排，A1和C1的平面距离为√[(1-0)^2+(1-0)^2]=√2。
公式：√[(Δx)^2+(Δy)^2]
提示：注意展开后P在公共棱上，但最小值即为A1和C1的直线距离。
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