北京大学 2020年强基第11题
📝 题目
数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{2}=9$ ，且对任意 $n \geq 1$ 有 $a_{n+2}=4 a_{n+1}-3 a_{n}-20$ ，其中前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，则函数 $S_{n}$ 的最大值等于 ． A． 28 B． 35 C． 47 D．前三个答案都不对
💡 答案解析
A 解析：因为 $a_{n+2}=4 a_{n+1}-3 a_{n}-20$ ，则 $a_{n+2}-a_{n+1}-10=3\left(a_{n+1}-a_{n}-10\right)$ 故 $a_{n+1}-a_{n}=10-2 \times 3^{n-1}$ ，则当 $n \geq 3$ 时，数列为单调递减数列 可求得 $a_{3}=13, a_{4}=5$ ，当 $n \geq 5$ 时，$a_{n}\lt 0$ ，则 $S_{n}$ 的最大值为 $S_{4}=28$ ，故选 A 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造等比数列
由递推式 a_{n+2}=4a_{n+1}-3a_n-20，两边减去 a_{n+1} 和 10，得到 a_{n+2}-a_{n+1}-10=3(a_{n+1}-a_n-10)。
公式：a_{n+2}-a_{n+1}-10=3(a_{n+1}-a_n-10)
提示：注意常数项的处理，构造等比数列是关键。
步骤 2/5
目标：求通项公式
令 b_n=a_{n+1}-a_n-10，则 b_1=a_2-a_1-10=9-1-10=-2，且 b_{n+1}=3b_n，所以 b_n=-2·3^{n-1}。于是 a_{n+1}-a_n=10-2·3^{n-1}。
公式：a_{n+1}-a_n=10-2·3^{n-1}
提示：注意 b_n 的初始值计算。
步骤 3/5
目标：分析数列单调性
由 a_{n+1}-a_n=10-2·3^{n-1}，当 n=1 时差为正，n=2 时差为 10-6=4>0，n=3 时差为 10-18=-8<0，所以从 n≥3 开始数列递减。
提示：判断单调性只需看差的正负。
步骤 4/5
目标：计算前几项
已知 a1=1, a2=9，由递推得 a3=4a2-3a1-20=36-3-20=13，a4=4a3-3a2-20=52-27-20=5，a5=4a4-3a3-20=20-39-20=-39。
提示：逐项计算，注意符号。
步骤 5/5
目标：确定 Sn 最大值
数列从第5项开始为负，所以前4项和最大。S4=1+9+13+5=28。
公式：S_4=28
提示：负项会减小和，因此只加到最后一个正项。
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