北京大学 2020年强基第12题

B 解析一：直接计算 联立方程可得 $241 x^{2}+150 m x+25 m^{2}-400=0$ 则 $\displaystyle A B=\sqrt{10} \cdot\left|x_{1}-x_{2}\right|=\sqrt{10} \times \frac{40 \sqrt{241-m^{2}}}{241}, d=\frac{|m|}{\sqrt{10}}$ $\displaystyle S=\frac{1}{2} A B \cdot d=\frac{20}{241} \cdot \sqrt{m^{2}\left(241-m^{2}\right)} \leq 10$ ，故面积的最大值为 10 ，故选 B。 解析二：仿射变换 不妨设 $\displaystyle \frac{x}{5}=X, \frac{y}{4}=Y$ ，则 $X^{2}+Y^{2}=1$ ，直线为 $4 Y=15 X+1$ 则 $\displaystyle d=\frac{|m|}{\sqrt{241}}$ ，故 $\displaystyle S^{\prime}=\frac{1}{2} d \cdot A B=\frac{1}{2} \times \frac{|m|}{\sqrt{241}} \times \frac{2 \sqrt{241-m^{2}}}{\sqrt{241}}=\frac{\sqrt{m^{2}\left(241-m^{2}\right)}}{241} \leq \frac{1}{2}$则 $S_{\triangle O A B}=20 S^{\prime} \leq 10$ ，故面积的最大值为 10 ，故选 B。