北京大学 2020年强基第13题

C 解析：由题意可得 $C_{n}^{k-1}, C_{n}^{k}, C_{n}^{k+1}$ 构成等差数列 则 $2 C_{n}^{k}=C_{n}^{k-1}+C_{n}^{k+1}$ ，化简可得 $n^{2}-(4 k+1) n+4 k^{2}-2=0$ 以 $k$ 为主元整理 $4 k^{2}-4 n k+n^{2}-n-2=0$ ，则 $\displaystyle k=\frac{n \pm \sqrt{n+2}}{2}$ 则 $n+2$ 为完全平方数，则 $n+2=m^{2}$ ，则 $44 \geq m \geq 3$ 若 $\displaystyle k=\frac{n-\sqrt{n+2}}{2}=\frac{m^{2}-m-2}{2}=\frac{(m-2)(m+1)}{2}$ ，因为 $m-2, m+1$ 奇偶性相反 故则对于任意 $44 \geq m \geq 3$ 都满足题意 同理 $\displaystyle k=\frac{n+\sqrt{n+2}}{2}=\frac{m^{2}+m-2}{2}=\frac{(m+2)(m-1)}{2}$ ，因为 $m+2, m-1$ 奇偶性相反 故则对于任意 $44 \geq m \geq 3$ 都满足题意 综上：满足题意的有 42 个，故选 C。