北京大学 2020年强基第15题
📝 题目
函数 $f(\theta)=\sqrt{3+2 \sqrt{3} \cos \theta+\cos ^{2} \theta}+\sqrt{5-2 \sqrt{3} \cos \theta+\cos ^{2} \theta+4 \sin ^{2} \theta}$ 的最大值为 ）。 A．$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ B． $2 \sqrt{2}+\sqrt{3}$ C．$\sqrt{2}+2 \sqrt{3}$ D．前三个答案都不对
💡 答案解析
D 解析：易知当 $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$ 时，$\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)=3+\sqrt{3}\gt \sqrt{2}+\sqrt{3}$ 因为 $f(\theta)=\sqrt{3}+\cos \theta+\sqrt{5-2 \sqrt{3} \cos \theta+\cos ^{2} \theta+4 \sin ^{2} \theta}$ 下面证明 $f(\theta)\lt \sqrt{2}+2 \sqrt{3} \Leftrightarrow \sqrt{2}+\sqrt{3}-\cos \theta\gt \sqrt{5-2 \sqrt{3} \cos \theta+\cos ^{2} \theta+4 \sin ^{2} \theta}$ 两边平方即证 $4 \sin ^{2} \theta+2 \sqrt{2} \cos \theta\lt 2 \sqrt{6}$ ， 因为 $4 \sin ^{2} \theta+2 \sqrt{2} \cos \theta \leq 4 \sin \theta+2 \sqrt{2} \cos \theta=2 \sqrt{6} \sin (\theta+\varphi) \leq 2 \sqrt{6}$ 两个等号不同时成立，故 $4 \sin ^{2} \theta+2 \sqrt{2} \cos \theta\lt 2 \sqrt{6}$ ，则选D
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简第一个根号
将第一个根号内的表达式写成完全平方形式：3+2√3 cosθ+cos²θ = (√3+cosθ)²，所以第一个根号为|√3+cosθ|，由于√3+cosθ>0，故等于√3+cosθ。
公式：√(a²+2ab+b²)=|a+b|
提示：注意cosθ的范围，确保绝对值符号可去掉。
步骤 2/6
目标：化简第二个根号
第二个根号内：5-2√3 cosθ+cos²θ+4 sin²θ = 5-2√3 cosθ+cos²θ+4(1-cos²θ)=9-2√3 cosθ-3cos²θ。
公式：sin²θ=1-cos²θ
提示：合并同类项。
步骤 3/6
目标：尝试特殊值θ=π/2
代入θ=π/2，cosθ=0，sinθ=1，得f(π/2)=√3+√(5+4)=√3+3≈4.732，而选项A≈3.146，B≈3.146+1.414=4.56，C≈1.414+3.464=4.878，故f(π/2)大于A和B，排除A、B。
公式：f(θ)=√3+cosθ+√(9-2√3 cosθ-3cos²θ)
提示：特殊值法快速排除选项。
步骤 4/6
目标：证明f(θ)小于C选项
要证f(θ)<√2+2√3，即证√3+cosθ+√(9-2√3 cosθ-3cos²θ)<√2+2√3，移项得√(9-2√3 cosθ-3cos²θ)<√2+√3-cosθ。两边平方，整理得4 sin²θ+2√2 cosθ<2√6。
公式：平方消去根号
提示：注意不等式方向，两边非负。
步骤 5/6
目标：证明不等式成立
左边4 sin²θ+2√2 cosθ ≤ 4|sinθ|+2√2 cosθ ≤ 4 sinθ+2√2 cosθ（当sinθ≥0时），而4 sinθ+2√2 cosθ=2√6 sin(θ+φ) ≤ 2√6，且等号不同时成立，故严格小于2√6。
公式：asinθ+bcosθ=√(a²+b²) sin(θ+φ)
提示：注意sinθ≥0时取等条件，但等号不同时成立。
步骤 6/6
目标：得出最大值结论
由于f(π/2)=3+√3≈4.732，而C选项√2+2√3≈4.878，且已证f(θ)<√2+2√3，故最大值不是C，且大于A、B，因此正确答案为D。
提示：综合特殊值和不等式证明。
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