北京大学 2020年强基第16题
📝 题目
方程 $\sqrt{x+5-4 \sqrt{x+1}}+\sqrt{x+2-2 \sqrt{x+1}}=1$ 的实根个数为（ ）。 A． 1 B． 2 C． 3 D．前三个答案都不对
💡 答案解析
D 当 $1 \leq \sqrt{x+1} \leq 2$ 时，上式恒为 1 ，故选 D。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设变量简化根式
令 t = √(x+1) ≥ 0，则 x = t² - 1。原方程化为 √(t²+4-4t) + √(t²+1-2t) = 1。
公式：t = √(x+1)
提示：注意定义域 x ≥ -1，t ≥ 0。
步骤 2/5
目标：化简根式内的完全平方
t²+4-4t = (t-2)²，t²+1-2t = (t-1)²。方程变为 √((t-2)²) + √((t-1)²) = 1，即 |t-2| + |t-1| = 1。
公式：√(a²) = |a|
提示：注意绝对值，避免直接开方。
步骤 3/5
目标：分类讨论绝对值方程
分三段：t<1时，|t-2|+|t-1| = (2-t)+(1-t)=3-2t=1 ⇒ t=1，但t<1无解；1≤t≤2时，|t-2|+|t-1| = (2-t)+(t-1)=1恒成立；t>2时，|t-2|+|t-1| = (t-2)+(t-1)=2t-3=1 ⇒ t=2，但t>2无解。
公式：|a|分段定义
提示：注意边界点t=1和t=2包含在中间段。
步骤 4/5
目标：确定t的范围并回代x
由1≤t≤2得1≤√(x+1)≤2，平方得1≤x+1≤4，即0≤x≤3。此时原方程恒成立，故x∈[0,3]内所有实数都是解，实根个数无穷多。
公式：t = √(x+1)
提示：注意t的范围对应x的范围，解集是区间。
步骤 5/5
目标：判断选项
实根个数为无穷多个，选项A、B、C均为有限个，故正确答案为D（前三个答案都不对）。
提示：注意题目问实根个数，不是整数根。
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