北京大学 2020年强基第18题
📝 题目
设 $p, q$ 均为不超过 100 的正整数，则有有理根的多项式 $f(x)=x^{5}+p x+q$ 的个数为 。 A． 99 B． 133 C． 150 D．前三个答案都不对
💡 答案解析
B 解析：因为 $f(x)=x^{5}+p x+q$ 有有理根，则有理根必小于零 设 $\displaystyle x_{0}=-\frac{m}{n}$ ，且 $(m, n)=1$ ，则 $\displaystyle -\frac{m^{5}}{n^{5}}-\frac{p m}{n}+q=0$ 则 $q n^{5}=m^{5}+p m n^{4}$ ，显然 $n \mid m$ ，因为 $(m, n)=1$ ，则 $n=1$ ，故 $q=m^{5}+m p$ 因为 $q=m^{5}+m p \leq 100$ ，故 $1 \leq m \leq 2$ 当 $m=1$ 时，$q=1+p \leq 100$ ，因此 $1 \leq q \leq 99$ ，共 99 组 当 $m=2$ 时，$q=32+2 p \leq 100$ ，故 $1 \leq p \leq 34$ ，共 34 组 综上所述：满足条件的 $(p, q)$ 共133组，故选B。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定有理根的性质
由于多项式系数为正，有理根必为负数，设为x0 = -m/n，其中m,n互质。
提示：有理根定理：有理根必为常数项与首项系数因子的比。
步骤 2/7
目标：代入根并化简
代入x0得：-m^5/n^5 - p m/n + q = 0，乘以n^5得：-m^5 - p m n^4 + q n^5 = 0，即q n^5 = m^5 + p m n^4。
公式：q n^5 = m^5 + p m n^4
提示：注意移项符号。
步骤 3/7
目标：推导n=1
由q n^5 = m(m^4 + p n^4)，右边是m的倍数，左边n^5整除m，但m,n互质，故n=1。
提示：利用互质性质：若n|m且(m,n)=1，则n=1。
步骤 4/7
目标：得到q的表达式
n=1代入得：q = m^5 + p m。由于q≤100，m为正整数，故m^5 ≤ 100，得m=1或2。
公式：q = m^5 + p m
提示：m^5增长快，m=1时1，m=2时32，m=3时243>100。
步骤 5/7
目标：分类讨论m=1
m=1时，q=1+p≤100，p≥1，故p=1,...,99，共99组(p,q)。
公式：q = 1 + p
提示：p,q均为正整数且不超过100。
步骤 6/7
目标：分类讨论m=2
m=2时，q=32+2p≤100，得p≤34，p≥1，故p=1,...,34，共34组。
公式：q = 32 + 2p
提示：注意p为正整数。
步骤 7/7
目标：求和得总数
总组数=99+34=133。
提示：注意不要重复或遗漏。
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