北京大学 2020年强基第19题

B 解析：因为 $a_{n+1}=2^{n}-3 a_{n}$ ，则 $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=-\frac{3}{2} \cdot \frac{a_{n}}{2^{n}}+\frac{1}{2}$ 则 $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}-\frac{1}{5}=-\frac{3}{2}\left(\frac{a_{n}}{2^{n}}-\frac{1}{5}\right)$ ，则 $\displaystyle \frac{a_{n}}{2^{n}}-\frac{1}{5}=\left(-\frac{3}{2}\right)^{n-1}\left(\frac{a_{1}}{2}-\frac{1}{5}\right)$ ，则 $\displaystyle a_{n}=\frac{2^{n}}{5}+\left(a_{1}-\frac{2}{5}\right) \cdot(-3)^{n}$ 当 $\displaystyle a_{1}=\frac{2}{5}$ 时，满足严格递增，当 $\displaystyle a_{1} \neq \frac{2}{5}$ 时，会出现正负交替，不满足，故选 B。