北京大学 2020年强基第20题
📝 题目
设函数 $\displaystyle f(x, y, z)=\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}$ ，其中 $x, y, z$ 均为正实数，则有 。 A．$f$ 既有最大值也有最小值 B．$f$ 有最大值但无最小值 C．$f$ 有最小值但无最大值 D．前三个答案都不对
💡 答案解析
D 解析：糖水不等式 因为 $\displaystyle s=\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}\lt \frac{x+z}{x+y+z}+\frac{y+x}{y+z+x}+\frac{z+y}{z+x+y}=2$ 当 $x=0, z=1, y \rightarrow+\infty$ 时，$s \rightarrow 2$ ，故无最大值 而且 $\displaystyle s=\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}\gt \frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=1$ 当 $x=0, y=1, z \rightarrow+\infty$ 时，$s \rightarrow 1$ ，故无最小值，故选 D。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析函数f(x,y,z)的上界
利用糖水不等式：对于正数a,b，有a/(a+b) < (a+c)/(a+b+c)（c>0）。将每个分式分子加对应变量，得f < (x+z)/(x+y+z) + (y+x)/(x+y+z) + (z+y)/(x+y+z) = 2。
公式：\frac{x}{x+y} < \frac{x+z}{x+y+z}
提示：糖水不等式：加糖变甜。
步骤 2/5
目标：证明上界2无法达到，即无最大值
考虑极限情况：令x=0（趋近于0），z=1，y→+∞，则f → 0/(0+∞) + ∞/(∞+1) + 1/(1+0) = 0+1+1=2，但x>0，故f<2，无最大值。
公式：\lim_{y\to+\infty} f(0^+, y, 1) = 2
提示：极限趋近但取不到。
步骤 3/5
目标：分析函数f(x,y,z)的下界
利用糖水不等式：对于正数a,b，有a/(a+b) > a/(a+b+c)（c>0）。将每个分式分母加另一变量，得f > x/(x+y+z) + y/(x+y+z) + z/(x+y+z) = 1。
公式：\frac{x}{x+y} > \frac{x}{x+y+z}
提示：分母变大，分数变小。
步骤 4/5
目标：证明下界1无法达到，即无最小值
考虑极限情况：令x=0（趋近于0），y=1，z→+∞，则f → 0/(0+1) + 1/(1+∞) + ∞/(∞+0) = 0+0+1=1，但x>0，故f>1，无最小值。
公式：\lim_{z\to+\infty} f(0^+, 1, z) = 1
提示：极限趋近但取不到。
步骤 5/5
目标：综合结论，判断选项
f有上界2和下界1，但均无法取到，故既无最大值也无最小值，对应选项D。
提示：注意边界情况。
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