北京航空航天大学 2023年强基第1题
📝 题目
求 $2^{2023}(\bmod 13)$ 。
💡 答案解析
【解析】由费马小定理 $2^{12} \equiv 1(\bmod 13)$ ，而 $2023 \equiv 7(\bmod 12)$ ，故 $2^{2023} \equiv 2^{7} \equiv 11(\bmod 13)$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：应用费马小定理简化指数
由于13是质数且2与13互质，由费马小定理得2^(12) ≡ 1 (mod 13)。
公式：a^(p-1) ≡ 1 (mod p)，其中p为质数，a与p互质
提示：费马小定理适用于模数为质数且底数与模数互质的情况。
步骤 2/5
目标：计算指数2023模12的余数
因为2^(12) ≡ 1，所以指数可模12简化。计算2023 ÷ 12 = 168余7，即2023 ≡ 7 (mod 12)。
公式：若a ≡ b (mod m)，则a^n ≡ b^n (mod m)
提示：注意模数12是p-1=12。
步骤 3/5
目标：将原式转化为简化指数形式
由指数模12得2^(2023) ≡ 2^(7) (mod 13)。
公式：2^(2023) = 2^(12*168+7) = (2^12)^168 * 2^7 ≡ 1^168 * 2^7 ≡ 2^7 (mod 13)
提示：利用幂的运算法则拆分指数。
步骤 4/5
目标：计算2^7 mod 13的值
2^7=128，计算128除以13的余数：13×9=117，128-117=11，所以2^7 ≡ 11 (mod 13)。
公式：2^7=128，128 mod 13 = 11
提示：直接计算幂次后取模。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
因此，2^(2023) mod 13 = 11。
提示：答案即为11。
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