北京航空航天大学 2023年强基第2题
📝 题目
求与两圆相切的第三圆圆心轨迹。
💡 答案解析
【解析】注意到两个相切的圆，两圆圆心距离为二者的半径和，因此分为两种情况：若两圆是等圆，则第三圆圆心距离这两个圆心距离都相同，则轨迹是一条中垂线。 若两圆不是等圆，则第三圆圆心距离两个圆心的距离差恒为这两个圆的半径差值，因此由圆锥曲线的定义知，轨迹是一条双曲线。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析两圆位置关系
两圆相切，圆心距等于半径和。设两圆圆心为O1、O2，半径r1、r2，则|O1O2|=r1+r2。
公式：|O1O2| = r1 + r2
提示：注意相切包括内切和外切，但此处为外切。
步骤 2/5
目标：设第三圆圆心P，半径r
设第三圆圆心P(x,y)，半径为r。与两圆相切，则P到O1距离为r1+r，到O2距离为r2+r。
公式：|PO1| = r1 + r, |PO2| = r2 + r
提示：相切时圆心距等于半径和。
步骤 3/5
目标：分类讨论：两圆等圆
若r1=r2，则|PO1|=|PO2|，即P到两定点距离相等，轨迹为线段O1O2的中垂线。
公式：|PO1| = |PO2|
提示：中垂线是直线，注意排除与两圆重合的情况。
步骤 4/5
目标：分类讨论：两圆不等圆
若r1≠r2，则|PO1|-|PO2|=r1-r2（常数），由双曲线定义，P轨迹为以O1、O2为焦点的双曲线一支。
公式：||PO1| - |PO2|| = |r1 - r2|
提示：注意差为常数，且需考虑绝对值，可能为双曲线两支。
步骤 5/5
目标：综合结论
综上，当两圆等圆时轨迹为中垂线；不等圆时轨迹为双曲线。
提示：双曲线方程需根据具体坐标和半径差确定。
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