北京航空航天大学 2023年强基第3题
📝 题目
求阶乘 2023 ！中含有因子 2 的次数。
💡 答案解析
【解析】由勒让德引理知 $\displaystyle v_{2}(2023!)=\sum_{k=1}^{\infty}\left[\frac{2023}{2^{k}}\right]$ ，注意到 $2023=(\overline{11100111111})_{2}$ ，所以 $\displaystyle v_{2}(2023!)=\frac{2023-9}{2-1}=2014$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解问题：求2023!中因子2的个数
问题要求计算2023!中因子2的指数，即v2(2023!)。
提示：因子2的个数即阶乘中2的幂次。
步骤 2/5
目标：应用勒让德引理
勒让德引理：v_p(n!) = sum_{k=1}^∞ floor(n/p^k)。这里p=2，n=2023。
公式：v_2(2023!) = ∑_{k=1}^∞ floor(2023/2^k)
提示：只需计算到2^k > 2023为止。
步骤 3/5
目标：将2023转换为二进制
2023的二进制表示为11100111111_2，即2023 = 2^10 + 2^9 + 2^8 + 2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0，共9个1。
公式：2023 = (11100111111)_2
提示：二进制中1的个数为9。
步骤 4/5
目标：利用二进制表示简化求和
勒让德引理求和结果等于(2023 - 二进制中1的个数)/(2-1) = 2023 - 9 = 2014。
公式：v_2(2023!) = (2023 - s_2(2023)) / (2-1)
提示：公式：v_p(n!) = (n - s_p(n))/(p-1)，其中s_p(n)是n的p进制各位和。
步骤 5/5
目标：计算最终结果
代入得v_2(2023!) = 2023 - 9 = 2014。
提示：答案：2014。
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