北京航空航天大学 2023年强基第4题
📝 题目
求多项式 $(x+\sqrt{2})^{2023}$ 中偶数项系数和。
💡 答案解析
【解析】应该为 $\displaystyle \frac{1}{2}\left((\sqrt{2}+1)^{2023}+(\sqrt{2}-1)^{2023}\right)$ ，但这个再怎么算我就不知道了。
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：设多项式并赋值
设 f(x) = (x+√2)^{2023}，则偶数项系数和为 (f(1)+f(-1))/2。
公式：f(x) = (x+√2)^{2023}
提示：利用奇偶项系数和公式：偶数项系数和 = (f(1)+f(-1))/2。
步骤 2/3
目标：计算 f(1) 和 f(-1)
f(1) = (1+√2)^{2023}，f(-1) = (-1+√2)^{2023} = (√2-1)^{2023}。
公式：f(1) = (1+√2)^{2023}, f(-1) = (√2-1)^{2023}
提示：注意负号处理：-1+√2 = √2-1。
步骤 3/3
目标：代入公式得偶数项系数和
偶数项系数和 = (f(1)+f(-1))/2 = ((1+√2)^{2023}+(√2-1)^{2023})/2。
公式：S = ((1+√2)^{2023}+(√2-1)^{2023})/2
提示：此即为最终表达式，无需进一步化简。
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