北京航空航天大学 2023年强基第5题
📝 题目
证明 $\displaystyle \arcsin \frac{3}{5}\lt \frac{\pi}{4}$ 。
💡 答案解析
【解析】只需说明 $\displaystyle \frac{3}{5}\lt \sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow 6\lt 5 \sqrt{2} \Leftrightarrow 1.2\lt \sqrt{2}$ ．而后者是显然的．
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将不等式转化为三角函数不等式
要证明 arcsin(3/5) < π/4，由于正弦函数在[0, π/2]上单调递增，只需证明 3/5 < sin(π/4) = √2/2。
公式：sin(arcsin x) = x, x ∈ [-1,1]
提示：利用正弦函数的单调性，将反三角函数不等式转化为普通三角函数不等式。
步骤 2/4
目标：将不等式两边平方
不等式 3/5 < √2/2 两边为正，平方得 9/25 < 2/4，即 9/25 < 1/2。
公式：若 a,b>0，则 a
提示：平方时注意两边非负。
步骤 3/4
目标：化简不等式
将 9/25 < 1/2 两边乘以50得 18 < 25，即 18 < 25，显然成立。
公式：不等式两边同乘正数不等号方向不变
提示：乘以分母的最小公倍数去分母。
步骤 4/4
目标：得出结论
由于 18 < 25 成立，所以 3/5 < √2/2，从而 arcsin(3/5) < π/4。
公式：arcsin x 在[-1,1]上单调递增
提示：逆用单调性得到原不等式。
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