北京航空航天大学 2023年强基第6题

【解析】为了方便起见，当两条直线和坐标轴平行时，面积为 $S=2 a b$ ，对于其他情况设其中一条直线为 $y=k x$ ，通过联立得到 $\displaystyle \left(\frac{k^{2}}{b^{2}}+\frac{1}{a^{2}}\right) x^{2}=1$ ，从而该直线交出来的四边形对角线长度为 $\displaystyle 2 \sqrt{\frac{a^{2} b^{2}}{a^{2} k^{2}+b^{2}}} \cdot \sqrt{1+k^{2}}=2 \sqrt{\frac{\left(1+k^{2}\right) a^{2} b^{2}}{a^{2} k^{2}+b^{2}}}$ ，那么通过用 $\displaystyle -\frac{1}{k}$ 替换 $k$ 得到另一条对角线的长度为 $\displaystyle 2 \sqrt{\frac{\left(k^{2}+1\right) a^{2} b^{2}}{b^{2} k^{2}+a^{2}}}$, 从而四边形面积为 $\displaystyle 2 a b \sqrt{\frac{a^{2} b^{2}\left(k^{2}+1\right)^{2}}{\left(a^{2} k^{2}+b^{2}\right)\left(b^{2} k^{2}+a^{2}\right)}}$ ，注意到，（取等条件为 $k= \pm 1$ ）， $\displaystyle 1 \geq \frac{a^{2} b^{2}\left(k^{2}+1\right)^{2}}{\left(a^{2} k^{2}+b^{2}\right)\left(b^{2} k^{2}+a^{2}\right)}=1-\frac{\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2} k^{2}}{a^{2} b^{2} k^{4}+a^{2} b^{2}+\left(b^{4}+a^{4}\right) k^{2}} \geq 1-\frac{\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}=\frac{4 a^{2} b^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}$ 综上所述，四边形面积的取值范围为 $\displaystyle \left[\frac{4 a^{2} b^{2}}{a^{2}+b^{2}}, 2 a b\right]$ 。