北京航空航天大学 2023年强基第7题
📝 题目
求正方形任意三个顶点构成等腰三角形的概率。
💡 答案解析
【解析】概率为 1 ，事实上容易观察出四个顶点去掉一个后，剩下的三角形一定是等腰三角形。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解问题
正方形有4个顶点，任选3个顶点构成三角形，求该三角形为等腰三角形的概率。
提示：注意等腰三角形的定义：至少两边相等。
步骤 2/6
目标：列举所有可能的三角形
从4个顶点中选3个，共有C(4,3)=4种选法。每个选法对应一个三角形。
公式：C(4,3)=4
提示：组合数公式。
步骤 3/6
目标：分析每个三角形的形状
正方形顶点A、B、C、D。去掉一个顶点，剩下三个顶点构成三角形。例如去掉A，得△BCD。
提示：利用对称性，只需分析一种情况。
步骤 4/6
目标：判断△BCD是否为等腰三角形
在正方形中，BC=CD（边长相等），且BD为对角线，长度不同。所以△BCD有两边相等，是等腰三角形。
提示：注意等腰三角形只需两边相等。
步骤 5/6
目标：推广到所有情况
由对称性，去掉任意一个顶点，剩下的三角形都是等腰三角形。因为相邻两边相等。
提示：所有4种选法均满足。
步骤 6/6
目标：计算概率
所有4个三角形都是等腰三角形，所以概率为4/4=1。
公式：P=1
提示：必然事件概率为1。
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