北京航空航天大学 2023年强基第8题
📝 题目
求 $\displaystyle \frac{x y+\sqrt{3} y z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ 的最大值。
💡 答案解析
【解析】只需注意到 $\displaystyle x^{2}+{ }^{2}+{ }^{2}=\left(x^{2}+\frac{1}{4}{ }^{2}\right)+\left(\frac{3}{4}{ }^{2}+{ }^{2}\right) \geq x+\sqrt{3} z$ ，所以原式 $\leq 1$ ，取等条件为 $x: y: z=1: 2: \sqrt{3}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别目标表达式形式
观察分子为xy+√3 yz，分母为x²+y²+z²，考虑利用不等式放缩。
提示：注意分子有公因子y，可尝试配凑分母。
步骤 2/4
目标：拆分分母并应用基本不等式
将分母拆分为(x²+¼y²)+(¾y²+z²)，利用基本不等式：x²+¼y²≥xy，¾y²+z²≥√3 yz。
公式：a²+b²≥2ab
提示：系数配凑是关键，使放缩后分子出现xy和√3 yz。
步骤 3/4
目标：得到不等式关系
由x²+¼y²≥xy和¾y²+z²≥√3 yz，相加得x²+y²+z²≥xy+√3 yz。
公式：x²+¼y²≥xy，¾y²+z²≥√3 yz
提示：注意等号成立条件：x=½y且√3/2 y=z。
步骤 4/4
目标：求最大值
因此原式≤1，最大值为1，当且仅当x:y:z=1:2:√3时取等。
提示：验证取等条件满足分母不为零。
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