北京理工大学 2021年强基第1题
📝 题目
已知函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{6} x^{3}+\frac{1}{2} x-x \ln x$ （1）求 $f(x)$ 在 $x=1$ 时的切线方程； （2）证明：$f(x)$ 在 $\displaystyle \left(\frac{1}{e}, e\right)$ 上单调递减； （3）若 $f(x)\lt a$ 在 $\displaystyle \left(\frac{1}{e}, e\right)$ 上恒成立，求 $a$ 的最小值。
💡 答案解析
解：（1）$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1}{2} x^{2}-\frac{1}{2}-\ln x, x=1$ 时 $f^{\prime}(x)=0$ 故切线方程为 $$ y=0 $$ （2）$\displaystyle f^{\prime}(x)=x-\frac{1}{x}$ ，故 $f^{\prime}(x)$ 在 $(0,1)$ 上单增，在 $(1$, e $)$ 上单增，$f^{\prime}(1)=0$ 故 $f(x)$ 在 $\displaystyle \left(\frac{1}{\mathrm{e}}, e\right)$ 上单调递减。 （3）$\displaystyle a_{\min }=f\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{1}{e^{3}}+\frac{3}{2 e}$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求导数f'(x)
对f(x)=1/6 x^3 + 1/2 x - x ln x求导，得f'(x)=1/2 x^2 + 1/2 - ln x - 1 = 1/2 x^2 - 1/2 - ln x。
公式：f'(x)=1/2 x^2 - 1/2 - ln x
提示：注意ln x的导数为1/x，乘积求导法则。
步骤 2/6
目标：求x=1处的导数值和函数值
代入x=1，f(1)=1/6+1/2-0=2/3，f'(1)=1/2-1/2-0=0。
公式：f(1)=2/3, f'(1)=0
提示：ln1=0。
步骤 3/6
目标：写出切线方程
切线斜率为0，过点(1,2/3)，方程为y=2/3。
公式：y = 2/3
提示：切线方程点斜式。
步骤 4/6
目标：证明f(x)在(1/e, e)上单调递减
求二阶导数f''(x)=x - 1/x，在(0,1)上f''(x)<0，在(1,e)上f''(x)>0，但f'(1)=0，且f'(x)先减后增，故f'(x)≤0，单调递减。
公式：f''(x)=x - 1/x
提示：利用导数符号判断单调性。
步骤 5/6
目标：求f(x)在(1/e, e)上的最大值
由单调递减知最大值在左端点x=1/e处，计算f(1/e)=1/(6e^3)+1/(2e) - (1/e) ln(1/e)=1/(6e^3)+1/(2e)+1/e=1/(6e^3)+3/(2e)。
公式：f(1/e)=1/(6e^3)+3/(2e)
提示：ln(1/e)=-1。
步骤 6/6
目标：确定a的最小值
要使f(x)
公式：a_min = 1/(6e^3) + 3/(2e)
提示：恒成立问题转化为最值问题。
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