北京理工大学 2021年强基第2题
📝 题目
角 $A, B, C$ 为三角形 $A B C$ 的内角，$\vec{m}=(-1, \sqrt{3}) \vec{n}=(\cos A, \sin A), \vec{m} \cdot \vec{n}=1$ （1）求角 $A$ ； （2）$\displaystyle \frac{1+\sin 2 B}{\cos ^{2} B-\sin ^{2} B}=-3$ ，求 $\tan B$ 。 二、工程力学、化学专业（考试时间 40 分钟，共三道题，工程力学专业两道物理，一道数学，化学专业两道化学，一道数学）
💡 答案解析
解：（1）$\displaystyle -\cos A+\sqrt{3} \sin A=1 \rightarrow A=\frac{\pi}{3}$ （2）$\displaystyle -3=\frac{(\cos B+\sin B)^{2}}{\cos ^{2} B-\sin ^{2} B}=\frac{\cos B+\sin B}{\cos B-\sin B}=\frac{1+\tan B}{1-\tan B} \rightarrow \tan B=2$ 二、工程力学专业（考试时间 40 分钟，共三道题，两道物理，一道数学）
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用向量点积公式建立方程
由向量点积公式，m·n = (-1)*cosA + √3*sinA = 1，得到 -cosA + √3 sinA = 1。
公式：m·n = x1x2 + y1y2
提示：注意向量坐标对应相乘
步骤 2/5
目标：化简方程求解角A
将方程化为 2sin(A - π/6) = 1，即 sin(A - π/6) = 1/2。由于A为三角形内角，0
公式：asinθ + bcosθ = √(a²+b²) sin(θ+φ)
提示：注意角度范围
步骤 3/5
目标：利用三角恒等式化简分式
分子1+sin2B = (sinB+cosB)²，分母cos²B - sin²B = (cosB - sinB)(cosB+sinB)，约分得 (sinB+cosB)/(cosB - sinB)。
公式：sin2B = 2sinBcosB, cos²B - sin²B = cos2B
提示：注意分母不为零
步骤 4/5
目标：将分式转化为tanB的表达式
分子分母同除以cosB得 (tanB+1)/(1 - tanB)，由已知等于-3，即 (1+tanB)/(1-tanB) = -3。
公式：tanB = sinB/cosB
提示：cosB≠0
步骤 5/5
目标：解方程求tanB
解方程 1+tanB = -3(1-tanB) 得 1+tanB = -3+3tanB，移项得 4 = 2tanB，所以 tanB = 2。
公式：一元一次方程求解
提示：注意符号
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