中国科学院大学 2023年强基第1题

（1）证：设实系数多项式为 $f(x)=\sum_{k=0}^{n} a_{k} x^{k}\left(n \geq 1, a_{n} \neq 0\right)$ 已知实数 $c$ 为它的实根，即 $f(c)=0=\sum_{k=0}^{n} a_{k} c^{k}$ 所以 $f(x)=f(x)-\sum_{k=0}^{n} a_{k} c^{k}=\sum_{k=0}^{n} a_{k}\left(x^{k}-c^{k}\right)$ 因式分解 $x^{k}-c^{k}=(x-c) \sum_{i=0}^{k-1} x^{k-1-i} c^{i}$ $f(x)=\sum_{k=0}^{n} a_{k}\left(x^{k}-c^{k}\right)=\sum_{k=0}^{n} a_{k}(x-c) \sum_{i=0}^{k-1} x^{k-1-i} c^{i}$ 所以 $f(x)=(x-c) \sum_{k=0}^{n} a_{k} \sum_{i=0}^{k-1} x^{k-1-i} c^{i}$ 即存在 $g(x)=\sum_{k=0}^{n} a_{k} \sum_{i=0}^{k-1} x^{k-1-i} c^{i}$ ，且 $g(x) \in R[x]$ 。 （2）证：对于一次多项式，结论显然成立 假设对于 $k(k \geq 2)$ 次多项式，至多有 $k$ 个实数根成立 对于 $k+1$ 次多项式 $f(x)$ ，如果没有实根，则证明完成 若至少有一个实根，不妨记作 $c$ ，即 $f(c)=0$ 根据（1）知，存在 $g(x) \in R[x]$ ，使 $f(x)=(x-c) g(x)$ $g(x)$ 是 $k$ 次多项式，由归纳假设知 $g(x)$ 至多 $k$ 个实根 所以 $f(x)$ 至多 $k+1$ 个实根 拓展：在一个整环 $R$ 上，其多项式环 $R[x]$ 上的 $n$ 次多项式一定至多 $n$ 个根．如果 $R$ 不是整环，结论不一定成立，比如 $x^{2}-1$ 在 $Z_{8}$ 上有四个根： $1,3,5,7$ 。 （3）证：（一）设 $P_{n}$ 为整系数多项式的集合，构造从 $P_{n}$ 到自然数 $N$ 的映射 $f: P_{n} \rightarrow N$ ，即 $f\left(a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{0}\right)=2^{f\left(a_{0}\right)} 3^{f\left(a_{1}\right)} \cdots p(n+1)^{\gamma\left(a_{n}\right)}$ ，其中 $p(n)$ 为第 $n$ 个素数，$f(n)$ 是全体整数到非负整数的任意双射 $e g: n \geq 0$ 时 $f(n)=2 n, n \leq 0$ 时 $f(n)=-2 n-1$ ．由于质因数分解的唯一性，所以这个映射是一一映射，所以 $P_{n}$ 是可数无限集，所有的整系数集合 $P=\bigcup_{n \in N} P_{n}$ 是可数个可数集的并集，依然可数 （二）由上题知 $n$ 次多项式最多由 $n$ 个实根，设 $R_{p}$ 为多项式 $p$ 的根，则 $R_{p}$ 为有限集．代数数 $A=\bigcup R_{p}$ ，为可数个有限集的并集，依然可数。