中国科学院大学 2022年强基第1题
📝 题目
证明： 7 的 $1 / 3$ 次方不是有理数。
💡 答案解析
证明：反设 $\displaystyle 7^{\frac{1}{3}}=\frac{p}{q}(p, q)=1, p, q$ 为整数 $\displaystyle 7=\frac{p^{3}}{q^{3}} .7 q^{3}=p^{3}$. $\therefore 7\left|p^{3} 7\right| p$ ．设 $p=7 p_{1}$ ． 则 $7 q^{3}=343 p_{1}^{3}$ $q^{3}=49 p_{1}^{3} \therefore 7|q .7|(p, q)$ ，矛盾。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：假设7的1/3次方是有理数
反设7^(1/3) = p/q，其中p,q互质，q≠0。
公式：7^{1/3} = p/q
提示：有理数可表示为最简分数
步骤 2/6
目标：立方两边得到等式
两边立方得7 = p^3/q^3，即7q^3 = p^3。
公式：7 = p^3/q^3
提示：立方消去根号
步骤 3/6
目标：推导7整除p
由7q^3 = p^3知7整除p^3，由于7是素数，故7整除p。
公式：7 | p^3 ⇒ 7 | p
提示：素数性质：若素数整除乘积，则整除至少一个因子
步骤 4/6
目标：设p=7p1并代入
设p=7p1，代入得7q^3 = 343p1^3，化简为q^3 = 49p1^3。
公式：q^3 = 49p1^3
提示：代入化简
步骤 5/6
目标：推导7整除q
由q^3 = 49p1^3知7整除q^3，故7整除q。
公式：7 | q^3 ⇒ 7 | q
提示：同步骤3
步骤 6/6
目标：得出矛盾
7同时整除p和q，与p,q互质矛盾，故假设不成立。
提示：互质定义
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