中国科学院大学 2021年强基第1题
📝 题目
求证：不存在自然数 $n \geq 2$ ，使得 $n \mid 2^{n}-1$ 。
💡 答案解析
【证明】若 $n$ 为正整数，则有 $x^{n}-y^{n}=(x-y)\left(x^{n-1}+x^{n-2} y+\cdots+x y^{n-2}+y^{n-1}\right)$ ，当 $n$ 为偶数时，令 $x=2, y=1$ ，从而可得 $2^{n}-1=2^{n-1}+2^{n-2}+\cdots+2+1$ ，由于 $n$ 为偶数，所以 $2 \mid n$ ，但 $2 \backslash 2^{n-1}+2^{n-2}+\cdots+2+1$ ，从而 $n \backslash 2^{n}-1$ ，若 $n$ 时奇数，假设 $n \mid\left(2^{n}-1\right)$ ，令 $p$ 为 $n$ 的最小质因子，则 $(n, p-1)=1$ ，同于 $p \mid\left(2^{n}-1\right)$ ，由 Fermart 小定理，得 $p \mid\left(2^{p-1}-1\right)$ ，又由于 $p \mid\left(2^{n}-1\right)$ ，从而得 $p$ 整除 $\left(2^{n}-1,2^{p-1}-1\right)=2^{1}-1=1$ ，矛盾， 所以不存在自然数 $n \geq 2$ ，使得 $n \mid 2^{n}-1$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将问题分为n为偶数和奇数两种情况讨论
考虑n为偶数时，利用因式分解得到2^n-1的表达式，并说明n不能整除它；n为奇数时，假设n整除2^n-1，导出矛盾。
提示：分类讨论是解决数论问题的常用方法。
步骤 2/5
目标：证明n为偶数时结论成立
当n为偶数时，2^n-1 = (2-1)(2^{n-1}+...+1) = 2^{n-1}+...+1，共有n项，每项为奇数，和为偶数？实际上和为奇数，因为n为偶数，但项数为偶数？注意：n为偶数时，2^n-1是奇数，而n是偶数，偶数不能整除奇数，故n∤2^n-1。
公式：2^n-1 = (2-1)(2^{n-1}+2^{n-2}+...+1)
提示：注意奇偶性：偶数不能整除奇数。
步骤 3/5
目标：证明n为奇数时结论成立（反证法）
假设存在奇数n≥2使得n|2^n-1。取n的最小质因子p，则p|2^n-1。由费马小定理，p|2^{p-1}-1。
公式：费马小定理：若p为质数且p∤a，则a^{p-1}≡1 mod p
提示：最小质因子是常用技巧。
步骤 4/5
目标：利用最大公因数性质导出矛盾
由于p|2^n-1且p|2^{p-1}-1，则p整除它们的最大公因数(2^n-1, 2^{p-1}-1)=2^{(n,p-1)}-1。因为p是n的最小质因子，所以(n,p-1)=1，故p|2^1-1=1，矛盾。
公式：(2^a-1, 2^b-1)=2^{(a,b)}-1
提示：注意(n,p-1)=1的推导：p是n的最小质因子，故p-1与n互质。
步骤 5/5
目标：总结结论
因此，无论n为偶数还是奇数，假设都不成立，故不存在自然数n≥2使得n|2^n-1。
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