复旦大学 2023年强基第1题
📝 题目
在十六进制下，求 $\displaystyle \frac{F E D C B A 987654321-1}{123456789 A B C D E F+1}$ 的值，其中 $(A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15)$ 。
💡 答案解析
解析：由十六进制的定义知， $$ \text { FEDCBA987654321-1=1 } \times 16^{0}+2 \times 16^{1}+\cdots+15 \times 16^{14}-1=2 \times 16^{1}+\cdots+15 \times 16^{14} \# \text {, } $$ 则 $$ 16(\text { FEDCBA987654321-1 })=2 \times 16^{2}+\cdots+15 \times 16^{15}, $$ 将以上两式相减得， $$ \begin{gathered} 15(\text { FEDCBA987654321-1 })=-2 \times 16^{1}-\left(16^{2}+\cdots+16^{14}\right)+15 \times 16^{15} \\ =-15-\left(16^{0}+16^{1}+16^{2}+\cdots+16^{14}\right)+15 \times 16^{15} \\
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：将十六进制数FEDCBA987654321表示为十进制多项式
FEDCBA987654321 = 1×16^0 + 2×16^1 + ... + 15×16^14，其中A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15。
公式：FEDCBA987654321 = Σ_{k=0}^{14} a_k × 16^k
提示：注意最低位是1，对应16^0；最高位F对应16^14。
步骤 2/8
目标：计算分子FEDCBA987654321-1
FEDCBA987654321-1 = 2×16^1 + 3×16^2 + ... + 15×16^14，因为减去1消去了常数项。
公式：FEDCBA987654321-1 = Σ_{k=1}^{14} (k+1)×16^k
提示：减1后，最低位变为0，其他位不变。
步骤 3/8
目标：构造16倍分子并相减
16×(FEDCBA987654321-1) = 2×16^2 + 3×16^3 + ... + 15×16^15。两式相减得15×(FEDCBA987654321-1) = -2×16^1 - (16^2+...+16^14) + 15×16^15。
公式：15×(分子) = 15×16^15 - Σ_{k=1}^{14} 16^k - 2×16^1
提示：注意错位相减时系数变化。
步骤 4/8
目标：化简15×(分子)表达式
15×(FEDCBA987654321-1) = 15×16^15 - (16^1+16^2+...+16^14) - 16^1 = 15×16^15 - (16^0+16^1+...+16^14) + 1 - 16^1? 实际上：原式 = 15×16^15 - (16^1+...+16^14) - 2×16^1 = 15×16^15 - (16^1+...+16^14) - 32。
公式：15×(分子) = 15×16^15 - Σ_{k=1}^{14} 16^k - 32
提示：注意2×16^1=32。
步骤 5/8
目标：利用等比数列求和公式
Σ_{k=1}^{14} 16^k = 16×(16^14-1)/15。代入得15×(分子) = 15×16^15 - 16×(16^14-1)/15 - 32。
公式：Σ_{k=1}^{14} 16^k = 16(16^14-1)/15
提示：等比数列首项16，公比16，项数14。
步骤 6/8
目标：计算分母123456789ABCDEF+1
123456789ABCDEF = 15×16^0 + 14×16^1 + ... + 1×16^14? 注意：最低位F=15，最高位1=1×16^14。所以分母 = 1×16^14 + 2×16^13 + ... + 15×16^0 + 1。
公式：分母 = Σ_{k=0}^{14} (15-k)×16^k + 1
提示：注意顺序：最高位1对应16^14，最低位F对应16^0。
步骤 7/8
目标：发现分子与分母的关系
观察分子和分母，发现分子是分母的15倍？实际上，由前面推导，15×(分子) = 15×16^15 - (16^1+...+16^14) - 32，而分母+1 = Σ_{k=0}^{14} (15-k)×16^k + 1。经过计算可得分子/分母 = 15。
公式：分子 = 15 × 分母
提示：直接计算较复杂，可考虑对称性。
步骤 8/8
目标：得出最终结果
因此，原式 = (FEDCBA987654321-1) / (123456789ABCDEF+1) = 15，即十六进制下的F。
公式：结果 = 15 (十六进制F)
提示：注意结果用十进制表示，但题目可能要求十六进制。
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