复旦大学 2023年强基第2题

解析：设经过点 $M$ 的射线方程为 $l: y=k x+m$ ，射线 $l$ 与椭圆交于点 $P=\left(x_{1}, y_{1}\right)$ ．设椭圆方程为 $\displaystyle C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt b\gt 0)$ ，则椭圆 $C$ 在点 $P$ 处的切线方程为 $\displaystyle l_{1}: \frac{x_{1} x}{a^{2}}+\frac{y_{1} y}{b^{2}}=0$ ．若射线 $l$ 与切线 $l_{1}$ 垂直，则 $\displaystyle k=\frac{a^{2} y_{1}}{b^{2} x_{1}}$ ．而 $y_{1}=k x_{1}+m$ ，故可解出 $\displaystyle \left\{\begin{array}{c}x_{1}=-\frac{m}{k c^{2}} \\ y_{1}=-\frac{m}{c^{2}}+m\end{array}\right.$ ．再代入椭圆方程知，$\displaystyle \frac{m^{2}}{k^{2} c^{4}}+\frac{m^{2}}{b^{2}}\left(1-\frac{1}{c^{2}}\right)^{2}=1$ ，最后再将 $m=y_{0}-k x_{0}$ 代入知，$\displaystyle \frac{1}{k^{2} c^{4}}+\frac{1}{b^{2}}\left(1-\frac{1}{c^{2}}\right)^{2}=\frac{1}{\left(y_{0}-k x_{0}\right)^{2}}$ 。这是一个关于 $k$ 的一元四次方程，它的实根数量只能为 $0,2,4$ ，且每个实根 $k$ 都唯一决定了 $m$ ，即经过点 $M$ 的射线．另一方面，以点 $M$ 为圆心作圆，当该圆与椭圆 $C$ 内切时，经过点 $M$ 与切点的射线垂直于椭圆；当该圆与椭圆 $C$ 外切时，经过点 $M$ 与切点的射线也垂直于椭圆，因此这样的射线至少有 2 条．综上所述，以 $M$ 为原点的垂直于椭圆的射线的数目为 2 或 4 。