复旦大学 2023年强基第4题
📝 题目
设地球上某点的纬度为 $\theta$ ，太阳光与赤道平面夹角为 $\displaystyle \alpha, \alpha, \theta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ ，求该点处一天受到日照的总时长（单位：$h$ ）。
💡 答案解析
解析：设该点与太阳光入射点均位于北半球．设地球半径为 $R$ ，则该点所在纬线圆在赤道平面上方的高度为 $R \sin \theta$ ．现将该纬线圆盘与晨昏面相交，可得该纬线圆盘中的一条弦，则弦心距为 $R \sin \theta \tan \alpha$ ，再由纬地圆的半径为 $R \cos \theta$ 知，该弦所对的圆心角为 $$ 2 \arccos \frac{R \sin \theta \tan \alpha}{R \cos \theta}=2 \arccos (\tan \theta \tan \alpha) $$ 故纬地圆上的光照弧长为 $R \cos \theta(2 \pi-2 \arccos (\tan \theta \tan \alpha))$ 。因此该点处一天受到光照的总时长为 $\displaystyle \frac{R \cos \theta(2 \pi-2 \arccos (\tan \theta \tan \alpha))}{2 \pi R \cos \theta} \times 24=24\left(1-\frac{\arccos (\tan \theta \tan \alpha)}{\pi}\right)$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：建立几何模型
设地球半径为R，该点纬度为θ，位于北半球。该点所在纬线圆在赤道平面上方高度为R sinθ。
公式：高度 = R sinθ
提示：注意纬度的定义，从赤道平面算起。
步骤 2/5
目标：确定晨昏面与纬线圆的交线
太阳光与赤道平面夹角为α，晨昏面与赤道平面夹角为α。纬线圆盘与晨昏面相交得到一条弦，弦心距为R sinθ tanα。
公式：弦心距 = R sinθ tanα
提示：利用几何关系：弦心距 = 高度 × tanα。
步骤 3/5
目标：计算弦所对圆心角
纬线圆半径为R cosθ，弦心距为R sinθ tanα，则半弦对应圆心角为arccos(tanθ tanα)，故弦所对圆心角为2 arccos(tanθ tanα)。
公式：圆心角 = 2 arccos(tanθ tanα)
提示：注意arccos的定义域，需满足tanθ tanα ≤ 1。
步骤 4/5
目标：计算光照弧长
纬线圆上光照部分对应圆心角为2π - 2 arccos(tanθ tanα)，弧长为R cosθ (2π - 2 arccos(tanθ tanα))。
公式：光照弧长 = R cosθ (2π - 2 arccos(tanθ tanα))
提示：光照弧长对应未被弦截去的部分。
步骤 5/5
目标：计算日照时长
一天24小时对应纬线圆周长2πR cosθ，故日照时长为(光照弧长/周长)×24 = 24(1 - arccos(tanθ tanα)/π)。
公式：日照时长 = 24(1 - arccos(tanθ tanα)/π)
提示：注意单位：小时。
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