复旦大学 2023年强基第5题
📝 题目
求值：$\displaystyle \frac{1}{2}+\cos \frac{\pi}{1012}+\cos \frac{2 \pi}{1012}+\cdots+\cos \frac{2023 \pi}{1012}$ 。
💡 答案解析
原式 $\displaystyle =\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{1011}\left(\cos \frac{k \pi}{1012}+\cos \frac{(k+1012) \pi}{1012}\right)+\cos \pi=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将求和式分组，利用余弦函数的周期性简化
注意到余弦函数周期为2π，且cos(θ+π) = -cosθ。将项配对：cos(kπ/1012)与cos((k+1012)π/1012) = cos(kπ/1012+π) = -cos(kπ/1012)，因此和为0。
公式：cos(θ+π) = -cosθ
提示：利用周期性配对，简化求和
步骤 2/4
目标：确定求和范围并分组
原式 = 1/2 + Σ_{k=1}^{1011} [cos(kπ/1012) + cos((k+1012)π/1012)] + cos(2023π/1012)。注意2023π/1012 = 2π - π/1012，但更简单：2023 = 1011+1012，故cos(2023π/1012) = cos(π + 1011π/1012) = -cos(1011π/1012)。
公式：cos(θ+π) = -cosθ
提示：注意项数：从k=1到1011，加上k=0? 实际上原式从cos(0)开始？题目是1/2 + cos(π/1012)+...+cos(2023π/1012)，共2024项？需仔细。
步骤 3/4
目标：重新整理求和项数
原式 = 1/2 + Σ_{k=1}^{1011} cos(kπ/1012) + Σ_{k=1012}^{2023} cos(kπ/1012)。令j=k-1012，则第二项Σ_{j=0}^{1011} cos((j+1012)π/1012) = Σ_{j=0}^{1011} cos(jπ/1012+π) = -Σ_{j=0}^{1011} cos(jπ/1012)。
公式：cos(θ+π) = -cosθ
提示：注意j从0到1011，包括j=0项cos(π) = -1。
步骤 4/4
目标：合并求和并计算
原式 = 1/2 + Σ_{k=1}^{1011} cos(kπ/1012) - [cos0 + Σ_{k=1}^{1011} cos(kπ/1012)] = 1/2 - cos0 = 1/2 - 1 = -1/2。
公式：cos0 = 1
提示：注意Σ_{j=0}^{1011} cos(jπ/1012) = cos0 + Σ_{k=1}^{1011} cos(kπ/1012)。
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