复旦大学 2023年强基第6题
📝 题目
设 $f(x)$ 为 5 次多项式，满足对于 $k \in\{0,1,2,3,4,5\}$ ，有 $\displaystyle f(k)=\frac{k}{k+1}$ ，求 $f(6)$ 。
💡 答案解析
解析：由 Lagrange 插值公式，$\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^{5} f(k) \cdot \Pi_{j \neq k} \frac{(x-j)}{(k-j)}$ ，则代入知 $f(6)=1$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题目条件
已知f(x)是5次多项式，满足f(k)=k/(k+1)对k=0,1,2,3,4,5成立，求f(6)。
提示：注意有6个条件，可唯一确定一个5次多项式。
步骤 2/5
目标：构造辅助函数
考虑g(x)=(x+1)f(x)-x，则g(x)是6次多项式，且g(k)=0对k=0,...,5成立。
公式：g(x) = (x+1)f(x) - x
提示：g(x)有6个根，可设为g(x)=A x(x-1)...(x-5)。
步骤 3/5
目标：确定g(x)表达式
由于g(x)是6次多项式，且首项系数为f(x)的首项系数，设为a，则g(x)=a x(x-1)...(x-5)。
公式：g(x)=a∏_{k=0}^5 (x-k)
提示：待定系数a。
步骤 4/5
目标：利用特殊点求a
取x=-1，g(-1)=(-1+1)f(-1)-(-1)=1，而∏_{k=0}^5 (-1-k)=(-1)(-2)...(-6)=720，所以a=1/720。
公式：g(-1)=1 = a * 720 ⇒ a=1/720
提示：注意乘积符号。
步骤 5/5
目标：求f(6)
由g(6)=(6+1)f(6)-6=7f(6)-6，且g(6)=a∏_{k=0}^5 (6-k)= (1/720)*720=1，所以7f(6)-6=1，解得f(6)=1。
公式：7f(6)-6=1 ⇒ f(6)=1
提示：直接代入计算。
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