复旦大学 2023年强基第7题
📝 题目
设 $\displaystyle f(z)=\frac{2-z}{z}$ ，求 $\underbrace{f(f(\cdots f(z))) \text { 关于 } n, z \text { 的表达式。 }}_{n}$
💡 答案解析
解析：由 $\displaystyle \underbrace{f(f(\cdots f(z)))}_{n}=\frac{2}{\frac{f(f(\cdots f(z)))}{n-1}}-1$ 知，$\underbrace{f(f(\cdots f}_{n}(z)))$ 形如 $\displaystyle -\frac{a_{n} z-b_{n}}{a_{n-1} z-b_{n-1}}$ ，其中 $a_{0}=1, a_{1}= 1 ; b_{0}=0, b_{1}=2$ ．再由递推关系 $\{\begin{array}{l}a_{n+1}=2 a_{n-1}+a_{n} \\ b_{n+1}=2 b_{n-1}+b_{n}\end{array}$ 知，$\displaystyle \{\begin{array}{c}a_{n}=\frac{2^{n+1}+(-1)^{n}}{3} \\ b_{n}=\frac{2}{3}\left(2^{n}-(-1)^{n}\right)\end{array}$ ，因此 $\displaystyle \underbrace{f(f(\cdots f(z)))}_{n}= -\frac{2^{n+1}(z-1)+(-1)^{n}(z+2)}{2^{n}(z-1)+(-1)^{n-1}(z+2)} 。$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：推导函数迭代的递推关系
由f(z)=2/z-1，得f_n(z)=2/f_{n-1}(z)-1，其中f_n表示n次迭代。
公式：f_n(z)=2/f_{n-1}(z)-1
提示：注意迭代下标
步骤 2/6
目标：假设迭代函数形式
设f_n(z)=-(a_n z - b_n)/(a_{n-1} z - b_{n-1})，其中a_0=1,b_0=0,a_1=1,b_1=2。
公式：f_n(z)=-(a_n z - b_n)/(a_{n-1} z - b_{n-1})
提示：初始值由f(z)确定
步骤 3/6
目标：建立系数递推关系
代入递推式f_n(z)=2/f_{n-1}(z)-1，比较系数得a_{n+1}=2a_{n-1}+a_n，b_{n+1}=2b_{n-1}+b_n。
公式：a_{n+1}=2a_{n-1}+a_n, b_{n+1}=2b_{n-1}+b_n
提示：注意下标对应
步骤 4/6
目标：求解递推关系
特征方程r^2=r+2，根r=2,-1。通解a_n=A·2^n+B·(-1)^n，代入初值得A=2/3,B=1/3，故a_n=(2^{n+1}+(-1)^n)/3。
公式：a_n=(2^{n+1}+(-1)^n)/3
提示：类似求b_n
步骤 5/6
目标：求解b_n
同理，b_n=C·2^n+D·(-1)^n，代入b_0=0,b_1=2得C=2/3,D=-2/3，故b_n=2(2^n-(-1)^n)/3。
公式：b_n=2(2^n-(-1)^n)/3
提示：注意符号
步骤 6/6
目标：写出最终表达式
代入f_n(z)=-(a_n z - b_n)/(a_{n-1} z - b_{n-1})，化简得f_n(z)=-[2^{n+1}(z-1)+(-1)^n(z+2)]/[2^n(z-1)+(-1)^{n-1}(z+2)]。
公式：f_n(z)=-\frac{2^{n+1}(z-1)+(-1)^n(z+2)}{2^n(z-1)+(-1)^{n-1}(z+2)}
提示：检查n=1时是否成立
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。