复旦大学 2023年强基第9题
📝 题目
在 R 上， $5^{x}-3^{2-x}=1$ 有几个解？
💡 答案解析
解析：考虑函数 $f(x)=5^{x}-3^{2-x}-1(x \in$ 居），则 $f$ 在罗上连续且严格单调增．由 $f(0)=-9\lt 0, f(1)=1\gt 0$ 以及介值定理知，$f$ 在屌上恰有一个零点，即原方程恰有一个解。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：构造函数并分析单调性
令 f(x)=5^x - 3^{2-x} - 1，定义域为 R。由于 5^x 严格增，-3^{2-x} 严格增，故 f(x) 在 R 上严格单调递增。
公式：f(x)=5^x - 3^{2-x} - 1
提示：利用指数函数的单调性判断复合函数的单调性。
步骤 2/4
目标：计算端点函数值
计算 f(0)=5^0 - 3^{2-0} - 1 = 1 - 9 - 1 = -9 < 0；f(1)=5^1 - 3^{2-1} - 1 = 5 - 3 - 1 = 1 > 0。
公式：f(0)=-9, f(1)=1
提示：选择简单整数点计算，便于判断符号。
步骤 3/4
目标：应用介值定理确定零点存在
由于 f 在 [0,1] 上连续，且 f(0)<0, f(1)>0，由介值定理知存在 c∈(0,1) 使得 f(c)=0，即方程有解。
公式：介值定理
提示：介值定理要求函数连续，这里 f 连续。
步骤 4/4
目标：结合单调性确定唯一解
因为 f 严格单调递增，所以零点唯一。故原方程恰有一个解。
提示：单调函数至多有一个零点。
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