复旦大学 2023年强基第10题

解析：先证明一个更强的结论：平面上不存在以整点为顶点的正三角形．这是因为，假设存在以整点为顶点的正三角形 $A B C$ ，不妨设 $\displaystyle A=0, B=r e^{i \theta}, C=r e^{i\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)}$ ，则 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_{C}=r \cos \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)=r\left(\frac{1}{2} \cos \theta-\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta\right)=\frac{1}{2} x_{B}-\frac{\sqrt{3}}{2} y_{B} \\ y_{C}=r \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)=r\left(\frac{1}{2} \sin \theta+\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} x_{B}+\frac{1}{2} y_{B}\end{array}\right.$ ．由于 $x_{B}, y_{B}$ 均为整数且不全为 0, 则 $x_{C}, y_{C}$不可能均为整数，矛盾！因此原题中不存在以这些中心为顶点的正三角形。 11、解析：这是一个特称命题，无法写成假言命题的形式，故不可取否命题。