复旦大学 2023年强基第11题

D 解析：$\displaystyle f(x)=f(-x) \Leftrightarrow \frac{1}{2} a b x+\log _{\frac{1}{5}}\left(5^{x}+1\right)=\frac{1}{2} a b(-x)+\log _{\frac{1}{5}}\left(5^{x}+1\right)$ $$ =-\frac{1}{2} a b x+\log _{\frac{1}{5}}\left(5^{x}+1\right)+x $$ $$ \begin{aligned} & \Leftrightarrow a b=1 \\ & g(x)=-g(-x) \Leftrightarrow 3^{x}+\frac{a+b}{3^{x}}+\frac{1}{3^{x}}+(a+b) 3^{x}=0 \\ & \Leftrightarrow a+b=1 \\ & \text { 故 } a=\omega, b=\varpi, \omega=e^{i \frac{\pi}{3}} \\ & \sum_{k=1}^{2023}\left(a^{k}+b^{k}\right)=0 \times 337+1 \quad \text { 选D。 } \\ & 2023=6 \times 337+1 \end{aligned} $$