复旦大学 2023年强基第12题
📝 题目
在 $\triangle A B C$ 中，$A B 、 B C 、 C A$ 上分别取点 $F 、 D 、 E, a, b, c \in(0,1)$ 且 $\displaystyle \frac{A F}{A B}=c, \frac{B D}{B C}=a, \frac{C E}{C A}=b$ ，用 $a, b, c$ 表示 $\displaystyle \frac{S_{\triangle D E F}}{S_{\triangle A B C}}$ 。
💡 答案解析
解析：由三角形面积公式知，$\displaystyle \frac{S_{\triangle A E F}}{S_{\triangle A B C}}=\frac{\frac{1}{2} A F \cdot A E \cdot \sin A}{\frac{1}{2} A B \cdot A C \cdot \sin A}=\frac{A F}{A B} \cdot \frac{A E}{A C}=c(1-b)$ ；同理知 $\displaystyle \frac{S_{\triangle B F D}}{S_{\triangle A B C}}=a(1-$ c）；$\displaystyle \frac{S_{\triangle C D E}}{S_{\triangle A B C}}=b(1-a)$ ．因此 $\displaystyle \frac{S_{\triangle D E F}}{S_{\triangle A B C}}=1-\frac{S_{\triangle A E F}}{S_{\triangle A B C}}-\frac{S_{\triangle B F D}}{S_{\triangle A B C}}-\frac{S_{\triangle C D E}}{S_{\triangle A B C}}=1-(a+b+c)+(b c+a c+a b)$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：计算三角形AEF的面积与三角形ABC的面积之比
由三角形面积公式，S△AEF = (1/2)·AF·AE·sinA，S△ABC = (1/2)·AB·AC·sinA，所以S△AEF/S△ABC = (AF/AB)·(AE/AC) = c·(1-b)。
公式：S = (1/2)·ab·sinC
提示：注意AE = AC - CE = AC - b·AC = (1-b)AC
步骤 2/4
目标：计算三角形BFD的面积与三角形ABC的面积之比
同理，S△BFD/S△ABC = (BD/BC)·(BF/BA) = a·(1-c)，因为BF = AB - AF = (1-c)AB。
公式：S = (1/2)·ab·sinC
提示：注意BF = AB - AF = (1-c)AB
步骤 3/4
目标：计算三角形CDE的面积与三角形ABC的面积之比
同理，S△CDE/S△ABC = (CD/CB)·(CE/CA) = (1-a)·b，因为CD = BC - BD = (1-a)BC。
公式：S = (1/2)·ab·sinC
提示：注意CD = BC - BD = (1-a)BC
步骤 4/4
目标：计算三角形DEF的面积与三角形ABC的面积之比
S△DEF = S△ABC - S△AEF - S△BFD - S△CDE，所以S△DEF/S△ABC = 1 - c(1-b) - a(1-c) - b(1-a) = 1 - (a+b+c) + (ab+bc+ca)。
公式：面积减法
提示：展开并合并同类项
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