复旦大学 2023年强基第14题
📝 题目
甲与乙约定在 14：00～15：00 会面，两个人均会在这 1 小时内的某个随机时刻到达会面地点，甲将会在等待 20 min 后离开，乙将会在等待 30 min 后离开，求甲与乙成功会面的概率。
💡 答案解析
解析：以 $14: 00$ 为原点建立平面直角坐标系，$x$ 轴为甲到达的时刻，$y$ 轴为乙到达的时刻，单位为min．于是 $(x, y) \in[0,60]^{2}$ 代表了甲与乙分别到达的时刻，两者成功会面当且仅当满足 $\left\{\begin{array}{l}y \leq x+20 \\ x \leq y+30\end{array}\right.$ ．因此甲与乙成功会面的概率为 $\displaystyle 1-\frac{\frac{1}{2} \times(60-20)^{2}+\frac{1}{2} \times(60-30)^{2}}{60^{2}}=\frac{47}{72}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：建立坐标系表示到达时间
以14:00为原点，x轴表示甲到达时刻（分钟），y轴表示乙到达时刻（分钟），则所有可能到达时间对应正方形区域[0,60]×[0,60]。
提示：注意时间单位统一为分钟。
步骤 2/5
目标：确定会面条件
甲等待20分钟，乙等待30分钟。会面条件为：乙到达时间不超过甲到达时间后20分钟，且甲到达时间不超过乙到达时间后30分钟，即y ≤ x+20 且 x ≤ y+30。
公式：y ≤ x+20, x ≤ y+30
提示：注意不等号方向。
步骤 3/5
目标：在坐标系中表示会面区域
在正方形内画出直线y=x+20和y=x-30，会面区域为这两条直线之间的部分（包括边界）。
提示：直线y=x+20与上边界y=60交于(40,60)；直线y=x-30与下边界y=0交于(30,0)。
步骤 4/5
目标：计算不会面区域面积
不会面区域为两个直角三角形：左上角三角形顶点(40,60)、(60,60)、(60,40)，直角边长为20；右下角三角形顶点(0,0)、(0,30)、(30,0)，直角边长为30。面积分别为(1/2)×20²=200和(1/2)×30²=450。
公式：面积 = (1/2) × 直角边²
提示：注意三角形位置。
步骤 5/5
目标：计算会面概率
正方形总面积60²=3600，不会面区域总面积200+450=650，则会面区域面积3600-650=2950。概率为2950/3600=47/72。
公式：概率 = 会面面积 / 总面积
提示：化简分数。
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