复旦大学 2023年强基第15题
📝 题目
求值： $\displaystyle 2 \arctan \frac{1}{2}+\arctan \left(\frac{1-\tan \left(2 \arctan \frac{1}{2}\right)}{1+\tan \left(2 \arctan \frac{1}{2}\right)}\right)$ 。
💡 答案解析
解析：记 $\displaystyle x=2 \arctan \frac{1}{2}$ ，即 $\displaystyle \frac{x}{2} \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 且 $\displaystyle \tan \frac{x}{2}=\frac{1}{2}$ ，则 $\displaystyle \tan x=\frac{2 \tan \frac{x}{2}}{1-\tan ^{2} \frac{x}{2}}=\frac{4}{3}$ ，故 $\displaystyle x \in\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$ ．记 $\displaystyle y= \arctan \left(\frac{1-\tan \left(2 \arctan \frac{1}{2}\right)}{1+\tan \left(2 \arctan \frac{1}{2}\right)}\right) \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ ，则 $\displaystyle \tan y=\frac{1-\tan x}{1+\tan x}=-\frac{1}{7}$ ，故 $\displaystyle y \in\left(-\frac{\pi}{4}, 0\right)$ ．因此 $\displaystyle x+y \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，且 $\displaystyle \tan (x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x \cdot \tan y}=1$ ，故 $\displaystyle x+y=\frac{\pi}{4}$ ，即原式值为 $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设x=2arctan(1/2)，并求tan x
令x=2arctan(1/2)，则tan(x/2)=1/2。利用倍角公式tan x=2tan(x/2)/(1-tan²(x/2))，代入得tan x=4/3。
公式：tan(2θ)=2tanθ/(1-tan²θ)
提示：注意x的范围：由tan(x/2)=1/2>0且x/2∈(-π/2,π/2)得x/2∈(0,π/4)，故x∈(0,π/2)。
步骤 2/6
目标：确定x的范围
由tan x=4/3>1，且x∈(0,π/2)，得x∈(π/4,π/2)。
提示：tan x>1时x>π/4。
步骤 3/6
目标：设y=arctan((1-tan x)/(1+tan x))，并求tan y
令y=arctan((1-tan x)/(1+tan x))，则tan y=(1-tan x)/(1+tan x)。代入tan x=4/3，得tan y=(1-4/3)/(1+4/3)=(-1/3)/(7/3)=-1/7。
公式：tan(arctan u)=u
提示：注意y∈(-π/2,π/2)。
步骤 4/6
目标：确定y的范围
由tan y=-1/7<0，且y∈(-π/2,π/2)，得y∈(-π/2,0)。
提示：tan y<0时y为负角。
步骤 5/6
目标：计算原式x+y的值
原式=x+y。由于x∈(π/4,π/2)，y∈(-π/2,0)，故x+y∈(-π/4,π/2)。计算tan(x+y)=(tan x+tan y)/(1-tan x tan y)=(4/3-1/7)/(1+4/21)=(28/21-3/21)/(25/21)=1。所以x+y=π/4。
公式：tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
提示：注意x+y的范围，确保正切值为1时角度为π/4。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
原式=π/4。
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