复旦大学 2023年强基第16题

解析：单词 statistics 的字母为 3 个 $\mathrm{s}, 3$ 个 $\mathrm{t}, 2$ 个 $\mathrm{i}, 1$ 个 $\mathrm{a}, 1$ 个 c ．取其中的 5 个字母并排序： （1）若 5 个字母无重复，则只有一种取法，排序数为 5 ！； （2）若 5 个字母恰有 1 个字母重复，则有以下取法： （2．1）取 2 个 $s$（或 2 个 $t$ ，或 2 个i），再从剩余 4 个字母中取 3 个不重复，取法有 $\binom{4}{3}$ 种，排序数为 $\displaystyle \frac{5!}{2!}$ ； （2．2）取 3 个 $s$（或 3 个 $t$ ），再从剩余 4 个字母中取 2 个不重复，取法有 $\binom{4}{2}$ 种，排序数为 $\displaystyle \frac{5!}{3!}$ ： （3）若 5 个字母恰有 2 个字母重复，则有以下取法： （2．1）取 2 个 s 与 2 个 t （或 2 个 s 与 2 个 i ，或 2 个 t 与 2 个 i ），再从剩余 3 个字母中取 1 个，取法有 $\binom{3}{1}$ 种，排序数为 $\displaystyle \frac{5!}{2!\times 2!}$ ； （2．2）取 3 个 s 与 2 个 t （或 3 个 s 与 2 个 i ，或 3 个 t 与 2 个 s ，或 3 个 t 与 2 个 i ），只有一种取法，排序数为 $\displaystyle \frac{5!}{3!\times 2!}$ ． 综上所述，用其中 5 个字母可组成的不同单词个数为 $$ 5!+3 \times\binom{ 4}{3} \times \frac{5!}{2!}+2 \times\binom{ 4}{2} \times \frac{5!}{3!}+3 \times\binom{ 3}{1} \times \frac{5!}{2!\times 2!}+4 \times \frac{5!}{3!\times 2!}=1390 $$