复旦大学 2023年强基第17题

解析：由于 $a\gt 0$ ，则条件方程 $a x^{2}+b x+c=0$ 有实根等价于 $b^{2}-4 a c \geq 0$ ． （1）若 $a=\max \{a, b, c\}$ ，则 $b^{2} \geq 4 a c \geq 4 b c$ ，故 $a \geq b \geq 4 c$ ．因此由 $\displaystyle 1=a+b+c \leq a+a+\frac{1}{4} a$ 知， $\displaystyle a \geq \frac{4}{9}$ ，且等号取到当且仅当 $\displaystyle a=\frac{4}{9}, b=\frac{4}{9}, c=\frac{1}{9}$ ，故此时 $\max \{a, b, c\}$ 的最小值为 $\displaystyle \frac{4}{9}$ a （2）若 $b=\max \{a, b, c\}$ ，由对称性可不妨设 $a \geq c$ ．由条件知 $b^{2} \geq 4 a c=4 a(1-a-b)$ ，即 $(b+ 2 a)^{2} \geq 4 a$ ，故 $b \geq 2 \sqrt{a}(1-\sqrt{a})$ ．若 $\displaystyle \sqrt{a}\lt \frac{1}{2}$ ，即 $\displaystyle a\lt \frac{1}{4}$ ，则 $\displaystyle b=1-a-c \geq 1-2 a\gt \frac{1}{2}$ ；若 $\displaystyle \sqrt{a} \geq \frac{1}{2}$ ，则由单调性以及 $\sqrt{a} \leq \sqrt{b}$ 知， $2 \sqrt{a}(1-\sqrt{a}) \geq 2 \sqrt{b}(1-\sqrt{b})$ ，故由 $b \geq 2 \sqrt{b}(1-\sqrt{b})$ 可解出 $\displaystyle b \geq \frac{4}{9}$ ，且等号取到当且仅当 $\displaystyle a=\frac{4}{9}, b=\frac{4}{9}, c=\frac{1}{9}$ ，故此时max $\{a, b, c\}$ 的最小值为 $\displaystyle \frac{4}{9}$ 。 （3）若 $c=\max \{a, b, c\}$ ，则由对称性与（1）同理知，此时 $\max \{a, b, c\}$ 的最小值为 $\displaystyle \frac{4}{9}$ 。 综上所述， $\max \{a, b, c\}$ 的最小值为 $\displaystyle \frac{4}{9}$ 。