复旦大学 2023年强基第18题
📝 题目
$\sum_{i=1}^{n}\left(\sum_{j=i+1}^{n} a_{i, j}\right)=$ $\_\_\_\_$。 A．$\sum_{j=1}^{n}\left(\sum_{i=j+1}^{n} a_{i, j}\right)$ B．$\sum_{j=i+1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i, j}\right)$ C．$\sum_{j=2}^{n}\left(\sum_{i=1}^{j} a_{i, j}\right)$ D．$\sum_{i=1}^{n}\left(\sum_{j=1}^{n} a_{i, j}\right)$
💡 答案解析
解析：由交换求和次序知，$\sum_{i=1}^{n}\left(\sum_{j=i+1}^{n} a_{i, j}\right)=\sum_{j=2}^{n}\left(\sum_{i=1}^{j-1} a_{i, j}\right)$ ，故以上选项全错。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解原求和式的含义
原式是双重求和，外层i从1到n，内层j从i+1到n，即对所有满足1≤i
提示：注意求和范围：i
步骤 2/7
目标：交换求和次序
交换求和次序，先固定j，再对i求和。由于i
公式：∑_{i=1}^n ∑_{j=i+1}^n a_{i,j} = ∑_{j=2}^n ∑_{i=1}^{j-1} a_{i,j}
提示：交换次序时注意上下限变化
步骤 3/7
目标：对比选项
选项A：∑_{j=1}^n ∑_{i=j+1}^n a_{i,j}，对应j从1到n，i从j+1到n，即j
提示：A选项求和范围是j
步骤 4/7
目标：对比选项B
选项B：∑_{j=i+1}^n ∑_{i=1}^n a_{i,j}，外层j依赖于i，写法不规范，实际含义混乱，不等价。
提示：B选项外层变量j依赖于内层i，错误
步骤 5/7
目标：对比选项C
选项C：∑_{j=2}^n ∑_{i=1}^j a_{i,j}，内层i从1到j，包含i=j的情况，而原式i
提示：C选项多出i=j的项
步骤 6/7
目标：对比选项D
选项D：∑_{i=1}^n ∑_{j=1}^n a_{i,j}，对所有i,j求和，包含i=j和i>j的项，远多于原式。
提示：D选项求和范围过大
步骤 7/7
目标：得出结论
所有选项均不等于原式，因此答案为无正确选项。
提示：注意原式等价于∑_{j=2}^n ∑_{i=1}^{j-1} a_{i,j}
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