复旦大学 2023年强基第19题
📝 题目
设 $A, B$ 为椭圆上定点，作以 $A B$ 为对角线的四边形 $A B C D$ ，使得 $C, D$ 分别在 $A B$ 两侧且在椭圆上，问存在多少条线段 $C D$ ，使四边形 $A B C D$ 的面积最大。
💡 答案解析
解析：由于 $S_{A B C D}=S_{\triangle A B C}+S_{\triangle A B D}$ ，其中 $S_{\triangle A B C}$ 取到最大值当且仅当 $C$ 为半椭圆上距离线段 $A B$ 的最远点，$S_{\triangle A B D}$ 取到最大值当且仅当 $D$ 为另一半椭圆上距离线段 $A B$ 的最远点，故 $C, D$ 唯一确定，即线段 $C D$ 唯一。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解四边形面积与三角形面积的关系
四边形ABCD的面积等于三角形ABC和三角形ABD的面积之和，因为AB是对角线。
公式：S_{ABCD}=S_{△ABC}+S_{△ABD}
提示：注意C和D在AB两侧，所以两个三角形不重叠。
步骤 2/4
目标：分析三角形面积最大化的条件
对于固定底边AB，三角形面积最大时，顶点是椭圆上到直线AB距离最远的点。由于椭圆关于AB对称，最远点有两个，分别在AB两侧。
公式：S_{△}=1/2 * |AB| * d
提示：距离d是点到直线的距离。
步骤 3/4
目标：确定C和D的位置
C和D分别位于AB两侧，且都是椭圆上到AB距离最远的点。这样的点唯一确定，因为椭圆上到给定直线距离最远的点只有两个（对称）。
提示：注意椭圆是凸的，最远点唯一。
步骤 4/4
目标：得出结论
C和D唯一确定，因此线段CD唯一存在。所以满足条件的线段CD只有一条。
提示：答案：1条。
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